Cómo salir de un laberinto

LaberintoTeseo entró al laberinto desenrollando el ovillo de hilo que le dio Ariadna; luego de matar al Minotauro, recogió el hilo que había ido dejando en su camino, y así encontró la salida.

Nosotros no tenemos una Ariadna salvadora y si estamos en un laberinto tenemos que idear otras maneras de encontrar la salida.

La instrucción más famosa para salir de un laberinto se reduce a una sola frase: apoyá tu mano derecha sobre una de las paredes y avanzá sin despegarla nunca. También funciona con la mano izquierda. Tarde o temprano llegarás a la salida; más bien tarde, porque este procedimiento te obliga a recorrer casi todo el trazado del laberinto. Además de su evidente falta de economía tiene otra objeción: puede fallar si la salida no está en el borde del laberinto. (En algunos casos está en el centro y una pasarela que nos lleva al exterior.)

El matemático francés Gaston Tarry ideó un procedimiento mucho más complejo pero también más preciso y de aplicación más amplia. Cada vez que entramos en un pasadizo, dejamos dos marcas al comienzo. Cuando llegamos a una bifurcación nueva dejamos una marca en el pasadizo que nos llevó hasta allí; en cambio, si es una bifurcación que ya habíamos visitado antes, dejamos tres marcas. Cuando lleguemos a una bifurcación tenemos que continuar por los pasadizos que no tengan ninguna marca o los que tengan una sola.

Los laberintos en jardines y parques de diversiones, donde uno mismo está rodeado y perdido, son más difíciles. Si el laberinto está dibujado sobre un papel hay otros procedimientos; por ejemplo, aquel que empieza por rellenar todos los callejones sin salida. Homero cuenta un truco —devastador en su sencillez— para encontrar la salida de un laberinto usando el Paint que suele venir en tu computadora.

Después de la muerte del Minotauro, en el mismo laberinto de Teseo y su ovillo fueron encerrados Dédado e Ícaro. Ellos encontraron otra manera de resolverlo: construyeron alas de cera y salieron por arriba.

Ivan Skvarca

Miércoles 20 de Junio de 2007

El juego de los piratas

Piratas del CaribeEn la segunda película de Piratas del Caribe, Will Turner necesita encontrar una llave. Para saber dónde está escondida, desafía al capitán Davy Jones a una partida de un extraño juego de dados.

El juego existe y podés jugarlo aunque no estés en la cubierta de un barco pirata. Tiene varios nombres: Liar's dice en inglés, Dudo en castellano. Pueden participar dos, tres, cuatro personas, quizás más, aunque con muchas se vuelve lento. Cada una necesita cinco dados y un cubilete.

Al mismo tiempo, todos agitan sus dados y los vuelcan sobre la mesa, cuidando que queden ocultos con el cubilete para nadie pueda ver qué números salieron. Con cautela y en secreto, cada jugador mira qué números le tocaron a él. No sabe nada de los números de los demás.

Después empiezan las apuestas. El primer jugador dice un número del uno al seis y una cantidad. Por ejemplo, «dos cuatros». De esta manera está apostando que sobre la mesa hay por lo menos dos dados que tienen el número cuatro, contando todos los dados, los suyos y los de los demás. ¿Pero cómo puede saberlo, si solamente ve sus propios dados? Ahí está la gracia del juego.

El siguiente jugador en la ronda tiene dos opciones: puede subir la apuesta o desconfiar de la apuesta anterior.

Para subir la apuesta tiene que elegir un número mayor o mantener el número pero aumentar la cantidad de dados. En nuestro ejemplo podría decir «Dos cincos» o bien «Seis cuatros».

Si decide desconfiar, todos los jugadores levantan sus cubiletes y revelan los dados que tienen. Si la apuesta resultó correcta y efectivamente se reúne la cantidad de dados indicada (o más) el que desconfió pierde. Si la apuesta no es correcta, pierde el que la hizo.

Al que pierde se le retira un dado. Después se juega otra ronda con exactamente las mismas reglas. Cuando un jugador se queda sin dados ya no puede jugar más y se levanta de la mesa; así se sigue hasta que solamente queda un jugador.

Una variante más estratégica y divertida consiste en que los unos cuenten como comodines. Si sobre la mesa hay cinco cuatros y dos unos, entonces la apuesta «Seis cuatros» es correcta: los unos cuentan como cuatros.

Ivan Skvarca

Miércoles 13 de Junio de 2007

Flora y fauna del tablero de ajedrez

Un caballo y un centauroEl tablero de ajedrez normalmente está ocupado por las seis piezas que conocemos: el rey, la dama, el alfil, el caballo y la torre. Pero a lo largo de los siglos los aficionados inquietos se preguntaron: ¿por qué esas y no otras? Las piezas de fantasía a veces son usadas en partidas y a veces sólo en problemas; aquí te presentamos algunas.

Podemos describir el movimiento del caballo de esta manera: se desplaza una casilla hacia un lado, gira en ángulo recto y entonces se desplaza dos casillas, pasando por encima de piezas propias y ajenas. Su salto puede describirse como (1,2). Si cambiamos esos valores tenemos toda una nueva tropilla. La jirafa tiene un salto (1, 4): se desplaza una casilla hacia un lado, gira en ángulo recto y después se desplaza cuatro casillas. El movimiento de la cebra es (2,3), mientras que el antílope mueve (3,4) y el del flamenco es (1,6). Saltos más amplios no son tan útiles, porque se chocarían con el borde del tablero demasiado fácilmente.

La amazona mueve como reina y caballo. El centauro como rey y caballo. El dragón como peón y caballo. El canciller como torre y caballo. La princesa mueve como alfil y caballo. ¿Cómo se llama la pieza que mueve como alfil y torre?

Quizás bajo la inspiración del peón, que mueve de una manera y captura de otra, existe una amplia familia de piezas que mueven de una manera y capturan de otra. Por ejemplo, podría mover como alfil y capturar como caballo, o mover como torre y capturar como rey.

El huérfano no tiene movimiento por sí mismo, pero es capaz de imitar el movimiento de la pieza rival que lo esté atacando en ese momento. Si es atacado por un alfil, entonces puede mover como alfil. Si es atacado por un alfil y un caballo, puede mover como cualquiera de los dos. Es una pieza débil y poderosa a la vez. El joker puede imitar a la última pieza del rival, no importa dónde esté. Si el rival movió su caballo, entonces el imitador puede mover como caballo.

El tablero sigue siendo amplio y generoso. Todavía hay muchas piezas que se pueden inventar. ¿Cuál es la tuya?

Ivan Skvarca

Miércoles 6 de Junio de 2007

Círculo vicioso

Ouroboros¿Qué fue primero: el huevo o la gallina? Esta vieja broma infantil es imposible de desenredar porque no podemos encontrarle la punta: todo huevo es puesto por una gallina, toda gallina nace de un huevo. Para tener un huevo, antes necesitamos una gallina, y para tener una gallina, antes necesitamos un huevo. Estamos atrapados en un círculo.

Es fácil toparse con ejemplos de razonamientos circulares en las conversaciones y las lecturas de todos los días. Nuestra pregunta del huevo y la gallina tiene dos pasos; si tuviera más podría más difícil de detectar a simple vista, pero sería igual de inválida y estéril.

¿Por qué está enfermo?
Porque no come.
¿Por qué no come?
Porque está débil.
¿Por qué está débil?
Porque está enfermo

Y volvimos al inicio sin haber explicado nada. Este error puede aparecer en casi cualquier discusión y ser casi convincente.

Las personas distinguidas no juegan al fútbol.
Las personas que no juegan al fútbol son distinguidas.

Por eso algunos viejos polemistas hacen una petición de principio. Con eso están diciendo que el argumento de su adversario es circular y para dejar de dar vueltas una y otra vez es necesario fijar un principio que permita avanzar. El ouroboros con que ilustramos este artículo representa esta circularidad viciosa: la serpiente empieza por morderse la cola, y luego da un mordisco más, y otro, y otro más, hasta que se devora a sí misma y desaparece por completo.

Ivan Skvarca

Miércoles 30 de Mayo de 2007

Las frases de Samuel Goldwyn

Samuel GoldwynLas contribuciones al acervo de los juegos lingüísticos provienen de los lugares más inesperados. Y muchas veces, muy a pesar de sus autores. Samuel Goldwyn es la G en MGM, el gigantesco estudio cinematográfico de Hollywood. (Quizás recuerdes el león rugiente con el que comienza cada film de ese estudio.) Samuel Godwyn es muy recordado y reconocido por las películas que produjo, pero también por sus frases: espontáneas, vehementes, absurdas, que insisten en contradecirse a sí mismas. Aquí tenés una pequeña antología.

• Cualquiera que va a un psiquiatra debería hacerse ver de la cabeza.
• Yo creo que nadie debe escribir su autobiografía hasta que no está muerto.
• Un contrato verbal vale menos que el papel en que está escrito.
• Un hospital no es un buen lugar para estar enfermo.
• Nunca hagas pronósticos, especialmente acerca del futuro.
• Te lo digo en dos palabras: ¡imposible!
• Señores, inclúyanme afuera.
• Todo lo que le puedo dar es un definitivo «quizás».
• Es absolutamente imposible, pero tiene sus posibilidades.
• Yo nunca me pongo un par de zapatos hasta no haberlos usado al menos cinco años.
• ¡Si Roosevelt estuviese vivo se removería en su tumba!

Muchas de estas frases le son adjudicadas falsamente: se sabe que él no las dijo. Sin embargo, poco importa: en este ludológico sentido, Samuel Goldwyn poco a poco deja de ser una persona de carne y hueso, y pasa a convertirse en un género literario.

Ivan Skvarca

Miércoles 23 de Mayo de 2007

Harry Potter acertijero

PotterHarry Potter es aprendiz de mago, es el enemigo mortal de Lord Voldemort, es experto jugador de quidditch y es un personaje literario. Pero Harry Potter también es aficionado a los juegos de ingenio.

En el primer libro, Harry Potter y la piedra filosofal, hay un espejo que no refleja a la persona que está delante, sino otras cosas. ¿Qué cosas? En el marco, con letras relucientes, está escrito:

Oesed lenoz aro cut edon isara cut se onotse

¿Qué efectos produce este espejo mágico? ¿Qué pasaría si en el marco estuviera escrito un palíndromo?

En Harry Potter y el cáliz de fuego, la prueba final consiste en recorrer un laberinto lleno de extrañas criaturas. En un pasillo Harry se encuentra con la Esfinge, que naturalmente le plantea un enigma:

Si te lo hiciera, te desgarraría con mis zarpas,
pero eso sólo ocurrirá si no lo captas.
Y no es fácil la respuesta de esta adivinanza,
porque está lejana, en tierras de bonanza,
donde empieza la región de las montañas de arena
y acaba la de los toros, la sangre, el mar y la verbena.
Y ahora contesta, tú, que has venido a jugar:
¿a qué animal no te gustaría besar?

¿Cuál es la respuesta al enigma?

En Harry Potter y la cámara secreta hay un anagrama que no revelaremos porque es importante para la trama; baste decir que uno de los personajes de la historia se llama Ryddle. (En inglés, riddle significa «acertijo».)

Y en varias novelas Harry y su amigo Ron juegan al ajedrez mágico. Es igual al común, se dice, «salvo que las piezas estaban vivas, lo que lo hacía muy parecido a dirigir a un ejército en una batalla». Y si se dan cuenta de que uno es un novato, la piezas discuten las movidas: «No me envíes a mí. ¿No ves el caballo? Muévelo a él, podemos permitirnos perderlo».

Ivan Skvarca

Miércoles 16 de Mayo de 2007

El teclado parcial

Teclado rotoDespués de un cataclismo terrible —un mosquito se posó sobre la barra espaciadora e intentaste matarlo con un compás— tres letras de tu teclado no funcionan bien: la K, la W y la Ñ. En nuestro idioma son letras raras, por lo que podrías seguir escribiendo y conversando casi normalmente y nadie se daría cuenta. Quizás aparecería algún problemita si te llamás Walter o si solés discutir sobre cañones o kimonos; en algunos casos podés buscar sinónimos, y llamar «muchachos» o «infantes» a los niños.

Después de un accidente trágico —volcaste un poco de gaseosa— otras tres teclas dejaron de funcionar: la B, la N y la I. Esto se complica. No podés escribir «¿Vamos a jugar al fútbol?» y tenés que reemplazarlo por «¿Vamos a jugar a la pelota?». Nada grave, pero incómodo. No podés mencionar a junio ni a julio; recién a agosto. Si tu novia se llama Beatriz o tu novio se llama Martín es urgente buscarle un apodo cariñoso para disimular el problema.

Después de una catástrofe calamitosa —diste un puñetazo colérico cuando un corte de luz arruinó tu trabajo de horas— en tu teclado funcionan sólo cuatro letras: la E, la R, la S y la T. ¿Podés escribir algo todavía? Sí, pero poco. Algunas palabras sueltas: tres, Ester, estrés, setter, retrete, test. ¿Cuál es la más larga que podés escribir sólo con esas letras? Nuestro récord: terrestres.

Si las únicas letras disponibles fueran la A, la R y la S podrías escribir asar, rara, Sara. ¿Y la más larga cuál es? Nuestro récord queda en arrasarás. El teclado accidentado es un buen desafío para jugar con las palabras y manipular letras. ¿Cuántas palabras podés escribir solamente usando tales y cuales letras, por ejemplo la O, la E y la R? ¿Cuál es la más larga de todas?

Puede hacerse más prolijo. Antes dijimos que con las letras de TRES se puede formar terrestres. ¿Cuál es la palabra más larga que se puede formar con las letras de CUATRO? ¿Y de CINCO? No importa si una letra se repite o si aparece sólo una vez; en cualquier caso puede utilizarse la cantidad de veces que querramos.

Este mecanismo es fértil para ejercicios literarios interesantes. Si tu novia se llama Beatriz, podés redactar un largo texto elogioso y enamorado usando sólo las letras de su nombre: la B, la E, la A, etc. Y por qué no escribir un poema sobre la NOSTALGIA usando solamente esas letras, o intentar describir con exactitud el funcionamiento del TELEVISOR o los paisajes de ARGENTINA.

Ivan Skvarca

Miércoles 9 de Mayo de 2007

Ajedrez en las películas

Xavier vs MagnetoEl ajedrez aparece con mucha frecuencia en el cine. Cada vez que se quiere presentar la inteligencia superior de un personaje se lo muestra jugando al ajedrez. Ocurre en Fenómeno, donde John Travolta hace el papel de un superdotado, y en Una mente brillante, con Russell Crowe en el papel de un premio Nobel emocionalmente inestable. En Blade Runner, Rutger Hauer es un androide que vence a un hombre con toda facilidad: esa facilidad pasmosa hace evidente su carácter no humano.

Otras veces el ajedrez es sólo una excusa para reunir a dos protagonistas y sostener visualmente un diálogo extenso. Así, en el cine juegan al ajedrez Julia Roberts y Richard Gere en Mujer bonita, Humphrey Bogart en Casablanca y Chewbacca y los robots en una de las películas de la serie La Guerra de las Galaxias. Una de las escenas de ajedrez más famosas de la historia del cine es la que se muestra en El séptimo sello, de Ingmar Bergman, donde el protagonista juega al ajedrez con la Muerte.

Sólo en algunas pocas películas el ajedrez es usado argumentalmente. Una de ellas es La defensa Luzhin, protagonizada por John Turturro y basada en una novela de Vladimir Nabokov. Aquí aparece otro lugar común: un gran genio de ajedrez puede ser socialmente inepto y emotivamente infantil. En otra, La tabla de Flandes, basada en una novela de Arturo Pérez Reverte, se recurre a un lugar común diferente: el ajedrez como espejo de la vida, los movimientos en el tablero como reflejo de lo que ocurre en el mundo.

A veces, si la película es fantástica el ajedrez no es el de siempre. En Star Trek el señor Spock es experto en un vistoso ajedrez tridimensional. En las películas de Harry Potter hay un ajedrez con piezas encantadas, que hablan, gesticulan, se resisten y suplican.

En la imagen vemos a Xavier jugando al ajedrez con Magneto en una escena de la primera película de la serie X Men. Este catálogo reúne todas las apariciones del ajedrez en películas con una obsesión admirable, desde 1900 hasta la actualidad.

Ivan Skvarca

Miércoles 2 de Mayo de 2007

Hotel Infinito

Un hotel infinito tiene infinitas llaves¿Qué es el infinito? ¿Un número? ¿Un número extraordinariamente grande? No. Es algo intrínsecamente diferente a noventa y siete o a mil quinientos catorce: es un concepto que se aplica a conjuntos de números, pero radicalmente diferente a los propios números.

Para que vayas vislumbrando sus complejidades te ofrecemos un trabajo de conserje de hotel. Se trata de un hotel muy singular: tiene infinitas habitaciones, que en este momento están todas ocupadas. En eso llega un nuevo pasajero. Vos podrías pensar: si todas las infinitas habitaciones están ocupadas, entonces no hay ningún lugar libre, y este pasajero no puede alojarse en ninguna parte.

Un gran error. Es muy fácil dejar disponible una habitación de tu hotel infinito. Pasá al ocupante de la habitación 1 a la 2; al de la habitación 2, pasalo a la habitación 3; al que estaba en la 3 pasalo en la habitación 4, y así con todos los infinitos huéspedes. De este modo, voilà, la habitación 1 queda vacía y allí puede ubicarse cómodamente el nuevo pasajero.

Esto no es todo. El hotel está otra vez completo; pero llegan ahora no uno, sino infinitos nuevos pasajeros. ¿Cómo encontrar infinitas habitaciones libres? Sencillísimo. Pasá al ocupante de la habitación 1 a la habitación 2; al de la 2, pasálo a la número 4; al de la habitación 3, pasáloa la número 6, y así con todos. De este modo quedan ocupadas solamente las habitaciones con número par, y todas las impares, que son infinitas, están vacías.

Este extraño hotel fue creado por el gran matemático y lógico David Hilbert para ilustrar las rarezas tan poco intuitivas de la idea de infinito.

Ivan Skvarca

Miércoles 25 de Abril de 2007

Palabras valija

PortmanteauEn la fabulosa Ciclopedia que Douglas Wright nos ofrece aquí en TamTam suelen aparecer palabras valija. Así tenemos al astropófago, el monstruo cósmico que a diferencia del antropófago no devora personas sino astros, la fotografea, la fotografía de alguien feo, el pizzapapeles, una porción de pizza que sirve como pisapapeles, y la videocafetera, para tomar café mientras vemos una película.

Como ves, el recurso consiste en tomar dos palabras existentes, como astro y antropófago, y fusionarlas convenientemente para dejar formada una nueva. Y una vez que tenemos la palabra sólo nos queda tratar de entender qué puede querer decir.

La idea de las palabras valija fue introducida por Lewis Carroll en su libro A través del espejo; él usa una palabra en francés, portmanteau, que era un especie de valija típica del siglo XIX, con dos compartimientos cubiertos mediante una única tapa. Esa idea de «dos haciendo uno» es la que pretende rescatar con el nombre. A veces son llamadas también palabras centauro, donde se mantiene la idea de dos —un hombre, un caballo— haciendo uno.

Algunas palabras valija se usan el el lenguaje de todos los los días. Por ejemplo portuñol, ese idioma híbrido entre portugués y español que se habla especialmente en la frontera. El smog surgió como palabra valija, pero en inglés: una combinación entre smoke (humo) y fog (niebla).

Pero lo más divertido de las palabras valija es inventarlas. En la colección de Marcos Donnantuoni encontramos el concursi (el concurso sobre un tema cursi) y el resto fácil (un resto fósil que es fácil de encontrar). En el voluminoso wiki específicamente dedicado dedicado al asunto por Nacho Campínez están la calamitad (o medio desastre) y la clorofilia (o la afición desmedida por el cloro). El humorista español José Luis Coll recopiló sus inventos en un libro, donde podemos leer ejemplos como cautomovilista (o conductor precavido) y atormentir (hacer sufrir con la mentira).

Ivan Skvarca

Miércoles 18 de Abril de 2007

Vida

VidaEl universo es un cuadriculado infinito en todas direcciones. Cada casilla tiene ocho casillas vecinas, todas las que están pegadas a ella por los lados y por los vértices, y dos estados: o bien aloja a una célula o bien está vacía. El tiempo se mueve por turnos. En cada turno nacen o mueren células según lo que ocurra en su vecindad:

  1. Si una casilla vacía está rodeada por exactamente tres células, en el siguiente turno allí nace una célula.
  2. Si una célula tiene a su alrededor dos o tres células, entonces sobrevive en el siguiente turno.
  3. En cualquier otro caso muere, sea por soledad, sea por superpoblación.
Estas son las reglas de Vida, creado por el matemático inglés John H. Conway, un extraño e hipnótico juego para cero jugadores. ¿Cero jugadores? Claro: una vez que se establece una configuración inicial de células sobre el cuadriculado, las reglas lo hacen todo solas, y la colonia de células crece, se desarrolla, se estanca o muere por sí misma, sin intervención de nadie más.

Es momento de que lo pruebes un poco. Este applet te permite hacer algunos experimentos. (Tiene el pequeño problema de que su cuadriculado no es en verdad infinito, pero podemos obviar eso por ahora.) Empezá con unas pocas células; primero las marcás con el mouse sobre las casillas y luego hacés clic en Start. Podés modificar a tu gusto el zoom y la velocidad del contador de tiempo.

Aquí al lado te mostramos cuatro organismos posibles. Una línea horizontal de tres células se ubica vertical en el siguiente turno, para luego ponerse de nuevo horizontal, y después otra vez vertical y así eternamente. (Cuando te canses, hacé clic en Stop.) ¿Ocurrirá lo mismo con dos líneas de tres células? No, porque están muy cerca y unas influyen en las otras. Los otros dos organismos parecen casi iguales, pero sin embargo su desarrollo es completamente diferente. Una de las rarezas del juego es que resulta muy difícil predecir el comportamiento de un organismo: los pequeños detalles pueden cambiarlo todo.

Más adelante podrás diseñar organismos más complicados. Algunos se desplazan eternamente; otros crecen rápido y luego se extinguen en un instante; otros se mantienen estables y no cambian nunca. Los aficionados los bautizan con nombres muy pintorescos: deslizadores, pistolas, rastrillos, sapos o matusalenes.

Ivan Skvarca

Miércoles 11 de Abril de 2007

Nim

Una partida de NimEl nim es un juego simple. Necesitás un montón de monedas y un rival. Las monedas se ubican sobre la mesa, en filas de cualquier longitud. El rival se ubica enfrente tuyo. Por turnos, tu rival y vos retiran la cantidad de monedas que deseen, con la única condición de que todas deben estar en una sola fila. Gana quien retira la última moneda.

En la figura vemos el inicio de una partida. Las filas tienen tres, cuatro, dos y tres monedas. En su primera jugada, tu rival quita una moneda de la fila inferior. Cuando es tu turno, quitás todas las monedas de la segunda fila. Ahora le toca a tu rival, que podría, por ejemplo, quitar dos monedas de la primera fila, o una moneda de la fila de abajo.

Como dijimos, al principio de la partida las filas pueden tener cualquier cantidad de monedas, pero si sos amante del orden y la simetría podés decidir que esa posición inicial sea siempre idéntica: las filas pueden tener la misma cantidad de monedas o formar una escalerita de longitudes uno, dos, tres, cuatro…

Una variante muy habitual pone límites a las monedas que se pueden retirar en un turno. Digamos: no más que tres. Naturalmente, si en tu alcancía no encontrás monedas tenés permiso para usar fósforos, botones o granos de maíz. Como en el juego no hay movimientos, incluso se puede jugar con lápiz y papel, dibujando círculos en fila que en cada turno son tachados por uno y otro.

Como en muchos otros juegos de tablero o de cartas, también existe la versión misère o «el que pierde gana». En esta versión, el que retira la última ficha pierde.

Bajo alguna de sus muchas formas, el Nim es jugado desde tiempos remotos. Existe una estrategia eficaz que permite ganar siempre; aunque no es para nada trivial, quizás puedas descubrirla por vos mismo.

Ivan Skvarca

Miércoles 4 de Abril de 2007

El mundo a través del alfabeto

AlfabetoEl tutti frutti no será una novedad para vos. (Según la Wikipedia, en algunos lugares es conocido con los nombres de bachillerato o alto el fuego.) Primero los participantes deciden un puñado de categorías: animales, músicos, países o ciudades, nombres de pila; seis o siete suelen ser suficientes. Después empieza el juego propiamente dicho. Se elige al azar una letra (normalmente uno de los jugadores recita mentalmente el abecedario hasta que otro lo detiene con un tajante "¡Basta!") y cada uno debe escribir en su propia hoja un elemento de aquellas categorías que empiece con la letra elegida. Animal: mandril. Músicos: Madonna. Países: Marruecos. Nombres de pila: Micaela. Cinco puntos por cada respuesta que otro también haya escrito, diez puntos por cada respuesta única, cero puntos por un casillero vacío o un error. Se juega hasta completar la cantidad prefijada de rondas, hasta que termine la hora libre, hasta que pare de llover.

Una manera de entrenarse para ganar al tutti frutti es preparar listas que recorran todo el alfabeto siguiendo una categoría muy precisa. Por ejemplo, para la categoría frutas: ananá, banana, cereza, durazno... ¿qué fruta empieza con E? Es un buen pasatiempo para el adormecido camino a la escuela o la aburrida cola del supermercado. Ciudades: Asunción, Budapest, Caracas, Dublín, Estambul... Colores: azul, bermellón, celeste, dorado, esmeralda, fucsia, gris...

Quizás entonces te atrape la pasión alfabética y no puedas dejar de armar listas para toda ocasión de tu vida. Podrías organizar el menú mensual: el día 1 comés arroz, ajíes, albóndigas, alcauciles y agua; el día 2 te servís bifes, bananas, bizcochos y batatas; para el tercer día tocan churros, café, cebollas y consomé. Es posible que el día de la X tengas un poco de hambre.

Si te gusta el cine podés alquilar Amarcord, Barbarella, Casablanca, Daredevil... en ese orden. Si sos un donjuán, buscar una novia para cada letra del alfabeto («Ah, qué lástima que tu nombre sea Jimena, con jota»). Un grupo de aficionados a los juegos de tablero que se reúne cada tanto en la ciudad de Zaragoza elige los juegos de cada reunión respetando el abecedario: el mes pasado fue la I, hace unos días fue el turno de la J.

Ivan Skvarca

Miércoles 28 de Marzo de 2007

La más larga

Llanfair etc¿Cuál es la palabra más larga del castellano? La respuesta es un rotundo depende. Primero deberíamos decidir qué palabras consideríamos válidas para esta competencia.

En el diccionario de la Real Academia Española la palabra más larga es electroencefalografista, que definen con mucha amabilidad como «Persona especializada en electroencefalografía». Es la única con veintitrés letras. Si sólo aceptamos palabras que aparezcan en ese diccionario, ahí tenemos a la ganadora indiscutible.

Pero podríamos admitir otros diccionarios; nuestra lengua tiene muchos y muy buenos. ¿Electroencefalografista conserva el trofeo? ¿Hay otra todavía más larga? No lo sabemos. Si hacés algún descubrimiento, dejalo en los comentarios.

Alguien podría argumentar que el diccionario no incluye todas las palabras existentes. Normalmente no tiene en cuenta los prefijos o sufijos (como los adverbios terminados en mente) o los plurales. La palabra manzanas no aparece en ningún diccionario (solamente manzana) y nadie dudaría de que es una palabra legítima. La palabra más larga podría ser entonces electroencefalografistas. Pero si admitimos cualquiera de estas variaciones nos adentramos en un terreno peligroso, donde las palabras se manipulan sin escrúpulos hasta crear un monstruo verbal inexistente. ¿Por qué no antielectroencefalografistas? ¿O contraelectroencefalografistamente? De esta manera, muchos sostienen que la palabra más larga del castellano es anticonstitucionalísimamente o alguna aberración por el estilo.

También está el riesgo de la guerra química. Las disciplinas científicas y técnicas acostumbran a usar palabras compuestas para nombrar herramientas o sustancias muy específicas. Por ejemplo, el ácido desoxirribonucleico, que afortunadamente conocemos por la sigla ADN. ¿Deberíamos tenerlas en cuenta? Tampoco parece razonable: nos veríamos inundados por palabras imposibles de pronunciar e imposibles de verificar.

Para decir cuál es la palabra más larga del castellano primero tenemos que en dónde buscar. Además de revisar los diccionarios podemos darle un vistazo a la obra de algún escritor o revisar los archivos de tal o cual diario. ¿Cuál es la palabra más larga jamás escrita por Jorge Luis Borges? ¿Cuál es la más larga que aparece en Facundo, de Sarmiento? ¿Cuál es la más larga publicada jamás en el diario El Heraldo de Chañar Ladeado?

En la foto vemos el cartel de la estación de tren en un pequeño pueblito de Gales, cuyo nombre tiene 58 letras; es tan largo que no entra en la foto.

Ivan Skvarca

Miércoles 21 de Marzo de 2007

El efecto Droste

El grito sin finEn las góndolas del supermercado, en los estantes del almacén o en la alacena de tu cocina podés ver la lata del polvo para hornear Royal. Fijate en ella con mucha atención. En el centro de la lata hay un dibujo de esa misma lata de polvo para hornear, aunque, por supuesto, más pequeña. Esta lata dibujada reproduce fielmente la lata original, por lo que adentro suyo también hay un pequeño dibujo de una lata de polvo para hornear. Adentro de esta lata que está adentro de una lata que está adentro de una lata hay otra más, y adentro de esa, otra, y si tu mirada fuera infinitamente poderosa, podrías ver infinitas latas cada vez más y más diminutas.

Droste es una marca holandesa de cacao en polvo. Su envase metálico tradicional muestra a una enfermera decimonónica sosteniendo una bandeja de plata; sobre esta bandeja hay una taza humeante y un envase de cacao en polvo Droste. En este envase, naturalmente, se puede ver a la enfermera, a la bandeja de plata y al envase de Droste, donde a su vez se puede ver… Ya entendés la idea.

El efecto Droste, entre nosotros el efecto Polvo Royal, es el de la recursión infinita de una imagen.

No es raro encontrar este artilugio visual en anuncios publicitarios o en revistas. Por ejemplo, en la tapa de una revista aparece un famoso sosteniendo una revista. Esa revista es exactamente la misma que vos estás mirando, por lo que en su tapa aparece él mismo sosteniendo una revista. A su vez, en esa revista aparece él sosteniendo una revista…

El gran ilustrador M. C. Escher se aprovechó de esta perplejidad visual para varias de sus obras. Inspirados en su ejemplo y en las facilidades de la manipulación digital de imágenes, muchos aprendieron a componer imágenes infinitamente recursivas; estas están muy logradas. Para que el efecto sea más impresionante, algunos le agregan animación, y así te sumergís sin descanso en una imagen que nunca termina.

Ivan Skvarca

Miércoles 14 de Marzo de 2007

El día de pi y otras excentricidades del almanaque

Una torta para piHoy, 14 de marzo, en colegios y universidades de Estados Unidos se celebra el día de pi. Sucede que allí tienen la costumbre de anotar los meses antes que los días, por lo que escriben la fecha de hoy como 3/14. Si recordás qué es pi te resultará evidente entender por qué fue elegido este día. (Que además sea la fecha de cumpleaños de Albert Einstein es un encanto añadido.)

En todo el resto del mundo, las fechas se escriben mencionando primero el día y luego el mes. Como nuestro año tiene apenas doce meses, para nosotros es imposible festejar el día de pi el 3 de docembre. ¿Qué hacer entonces? Por ejemplo, podríamos dejar la celebración para el 22 de julio, fecha que escribimos 22/7; vista como fracción, resulta una muy buena aproximación a pi —de hecho, fue la mejor aproximación que se conoció durante muchos siglos.

Aunque pi tiene mucha más prensa —mereció películas, monumentos y novelas— hay otros números famosos entre los matemáticos que podrían tener una celebración similar. Siguiendo estrictamente la idea, el día de e sería el 19 de julio, porque 19/7 está muy cerca de 2,717... y el día de la razón áurea el 13 de agosto.

Una idea excéntrica atrae otras. Profesores de química de Estados Unidos celebran el día del mol el 23 de octubre a las 6:02 horas. El día de la raíz cuadrada se festeja cada vez que el día y el mes son raíces cuadradas exactas de las últimas cifras del año; el próximo será el 3 de marzo del año 2009. El cuatro de mayo del año pasado, poco después de la una de la mañana, hubo un instante que se escribió usando números prolijamente consecutivos: 01:02:03 04/05/06. Hace un tiempo se celebró el día de la simetría, exactamente a las ocho y dos minutos de la noche del 20 de febrero del 2002. ¿Por qué detenerse aquí? El calendario espera que festejes otros días estrambóticos.

Ivan Skvarca

Miércoles 7 de Marzo de 2007

Cada número es especial

NúmerosEntre la multitud infinita de números anónimos y desconocidos, algunos logran destacarse y construir una personalidad distinta.

Ninguno de nosotros permanecerá indiferente ante el 666. Los números redondos, como el 15000, o capicúas, como el 15051, se destacan del resto como si tuvieran luz propia. Algunos números se hacen famosos por estar asociados a productos o marcas: el 747 no era nada antes de Boeing, mientras que para cierta generación la 303 será por siempre una lapicera estilográfica y el 600 siempre el Fitito. Dos casos llamativos son 1984 y 2001: se volvieron diferentes a los demás a partir de las respectivas novelas de George Orwell y Arthur C. Clarke. También a través del espectáculo destacan el 007, el famoso James Bond, y los números 86 y 99, de los agentes secretos Maxwell Smart y su novia.

Una persona con espíritu matemático puede encontrar notables los números 144, 81, 27 o 1024. (Son, respectivamente, el cuadrado de 12, el cuadrado de 9, el cubo de 3 y la potencia décima de 2.) Algunos requieren un ojo más entrenado y quizás un par de títulos universitarios: el 65535 es un número de Mersenne, y el 9814072356 es el mayor número cuadrado que usa las diez cifras sin repetir.

Parece que tenemos que desdecirnos: todos los números parecen tener alguna singularidad; no hay números anónimos y desconocidos. Un señor se dedicó a investigar y recopilar cuál es la característica especial de cada número desde cero. Aunque algunas son francamente estrambóticas (por ejemplo, 34 es el número más pequeño con la propiedad de que él y sus vecinos tienen la misma cantidad de divisores) tenemos que admirar su paciencia y empecinamiento.

¿Y entonces? ¿Todos los números son interesantes por algún motivo? Aquella lista cubre minuciosamente cada número... hasta el 226. Allí sólo hay signos de pregunta. ¿El 226 es el primero número que no tiene ninguna característica especial? Entonces podemos anunciar una paradoja: lo que tiene de especial el 226 es que resulta el primer número sin nada en especial.

Ivan Skvarca

Miércoles 28 de Febrero de 2007

El concurso de televisión

Tres puertasEstás en un concurso de televisión. Frente a vos hay tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un gran premio: un auto deportivo, un cofre lleno de dinero, unas vacaciones en el Caribe. Detrás de las otras dos no hay nada.

El conductor del programa te pide que elijas una de las puertas. Vos las mirás y son todas más o menos iguales. Un poco al tuntún te parás frente a una de ellas.

Suena la música, giran las luces, y el conductor del programa abre una de las otras dos puertas, donde sabe que no se oculta nada. Todo el mundo puede verlo, y vos también.

Se hace un repentino silencio y los reflectores te enfocan sólo a vos. El conductor dice: «Tenés dos opciones. Podés mantener la puerta que elegiste inicialmente, o cambiarte a la otra que todavía está cerrada. ¿Qué hacés?»

¿Qué te conviene hacer? ¿Mantener la decisión inicial? ¿Cambiar de puerta? ¿Acaso será lo mismo?

El problema es antiguo y polémico. A veces aparece asociado al nombre de Monty Hall, un canadiense que condujo un programa de concursos en la televisión muy popular en algunas épocas y algunos lugares. Es fácil responder de manera equivocada; la solución es muy poco intuitiva.

La primera reacción es pensar que da lo mismo. Cuando el conductor abre una de las puertas es como si el concurso empezara de nuevo: hay dos puertas y tras una está el premio y tras la otra no hay nada. La chance entre una y otra parece ser equivalente. Da lo mismo cambiar de puerta o quedarse en la ya elegida.

Sin embargo no es así. Siempre conviene cambiar de puerta. ¿Por qué?

Cuando al principio elegís una puerta tenés un tercio de probabilidades de que sea la puerta con premio. Las demás puertas reúnen los dos tercios restantes. Que el conductor abra una de las otras puertas no cambia esa distribución: la tuya sigue teniendo un tercio de probabilidades, y la probabilidad de las otras se acumula en la única que permanece cerrada. Si cambiás de puerta la chance de ganar es de dos tercios.

Podés entenderlo mejor con este experimento mental. Imaginate que hay mil puertas. Tras una sola de ellas está el premio. Elegís una. El conductor abre todas las demás salvo una. ¿Cuál elegirías ahora?

Si todavía no estás convencido podés hacer una simulación sobre la mesa de la cocina, con tres tazas al revés y un terrón de azúcar. Pedile a un amigo que haga de conductor. Primero esconde el terrón bajo de una taza, luego te pide que elijas una, después da vuelta una taza que sabe que está vacía. Probá varias veces: vas a ver que cambiar de taza es lo mejor.

Ivan Skvarca

Miércoles 21 de Febrero de 2007

Números enormes

Gigante¿Cuántos granos de arena hay en todas las playas de América? ¿Cuántos átomos hay en el universo? ¿Cuántas células hay en el cuerpo humano? ¿Cuántos bits hay en un disco rígido?

Es difícil tener una correcta percepción de los números muy grandes. La leyenda de la invención del ajedrez sirve como ejemplo. ¿Cuánto espacio hace falta para guardar un millón de pelotas de fútbol? ¿En cuánto tiempo leeríamos un millón de novelas? En su libro Matemáticas... ¿estás ahí?, Adrián Paenza propone este ejercicio.

1. Dibujá un segmento en una hoja.
2. Poné el número cero en el extremo izquierdo.
3. Poné el número un billón en el extremo derecho.
4. Marcá en ese segmento el número mil millones.

¿Dónde lo pondrías? Después de dar una respuesta intuitiva, volvé a intentarlo, pero esta vez calculando con cuidado. Es sorprendente.

Los nombres de los números muy grandes respetan cierta reglas razonables. Un millón de millones hacen un billón; un millón de billones hacen un trillón; un millón de trillones hacen un cuatrillón. En esta página se puede introducir cualquier número, no importa lo grande que sea, y devuelve el nombre de un número escrito en correcto inglés. (Sería bueno y no tan complicado disponer de algo similar en castellano.) Algunos números mayores tienen nombre especial. El googol es un 1 seguido por cien ceros; la palabra fue inventada por un chico de nueve años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. El googolplex es más monstruoso todavía: un 1 seguido por un googol de ceros.

Todos estos números son enormes, gigantes, titánicos, pero todavía finitos. Es decir, con suficiente paciencia —en algunos casos, con paciencia sobrenatural— sería posible escribirlos o pronunciarlos. Con suficiente malicia, a cualquiera de ellos podríamos sumarle 1 y de esa manera obtener un número mayor. El infinito es otra cosa, algo esencialmente distinto. No es un número; es un concepto.

Ivan Skvarca

Miércoles 14 de Febrero de 2007

El extraño caso de los números irresistibles

1089Elegí un número de tres cifras. No importa cuál; solamente es necesario que la diferencia entre la primera y la última cifra sea mayor que 2. Escribilo sobre una hoja, y al lado escribilo al revés. Después, restá ambos números.

725 – 527

El resultado también escribilo al revés. Otra vez tenés dos números. Esta vez sumalos.

189 + 891

No importa con qué número empieces: siempre vas a llegar al 1089. Si no estás convencido, hacé todas las pruebas que necesites.

El número 6174 también es curioso.

Elegí un número de cuatro cifras. Primero ordená sus cifras de mayor a menor; anotá el resultado. Después ordená las cifras de menor a mayor y también anotá el resultado. Restá ambos números. Digamos que elegiste el 1402, la fecha de hoy. Los ceros también cuentan.

4210 – 0142 = 4068

Si no ves nada raro, repetí el procedimiento. Primero las cifras de mayor a menor, luego de menor a mayor, y finalmente la resta.

8640 – 0468 = 8172

Hace lo mismo otra vez, y quizás otra más. En unos pocos pasos, vas a llegar al número 6174. Siempre; no importa con qué número empieces. (Salvo que el número use una única cifra repetida, como el 5555 o el 9999. En ese caso, el resultado es un cero inmediato.)

¿Por qué pasará esto?

Ivan Skvarca

Miércoles 7 de Febrero de 2007

Fibonacci entre bacterias y girasoles

GirasolImaginemos una bacteria con el siguiente ciclo vital. El primer día nace. El segundo día de su vida lo dedica a crecer y volverse adulta. A partir del tercer día y cada uno de los días siguientes se reproduce, generando una bacteria idéntica y con su mismo ciclo vital. Ponemos una sola de estas bacterias en un tubo de ensayo. ¿Cuántas tendremos luego de diez días?

Podemos responder la pregunta analizando con paciencia la vida de esa colonia de bacterias. El primer día hay una sola; el segundo día también. El tercer día hay dos, porque la primera se reprodujo. El cuarto día son tres, porque la recién nacida todavía está creciendo. El quinto día son cinco, porque ya son dos las que tienen descendencia. Si tuvimos cuidado de no confundirnos ni marearnos, podremos ver que al décimo día las bacterias son 55. Así evolucionó la población dentro del tubo de ensayo, día por día:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Fijate bien. A partir del tercer número, cada nuevo número es igual a la suma de los dos anteriores. Ocho es igual a 5+3; trece es igual a 8+5. Este descubrimiento nos permite predecir fácilmente lo que ocurrirá dentro de ese tubo de ensayo imaginario. En día once las bacterias serán 34+55 = 89. El día doce serán 144. Después de cien días serán 354224848179261915075.

Esta secuencia de números es conocida como sucesión de Fibonacci. La descubrió un matemático italiano que vivió hace novecientos años. Se llamaba Leonardo de Pisa pero era apodado Fibonacci a causa del nombre de su padre. Tuvo un papel importantísimo pero casi secreto en el desarrollo de la ciencia: introdujo en Europa el concepto de cero, que en esa época sólo era usado por los matemáticos árabes.

Aunque parece una serie de números muy arbitraria —nuestra colonia de bacterias es imaginaria— sucede que está muy presente en la naturaleza. Las semillas del girasol están distribuidas en forma de espiral, algunos desplegándose en sentido horario y otros en sentido antihorario; la cantidad de espirales en una y otra dirección son números de Fibonacci consecutivos. Algo similar ocurre en las piñas de los pinos. Hay números de Fibonacci en los enjambres de abejas, en los caparazones de los caracoles, en la curva de las olas. Incluso en tus manos: cada dedo, excepto el pulgar, está formado por tres huesos; la suma de los dos más cortos es igual a la longitud del más largo.

Ivan Skvarca

Miércoles 31 de Enero de 2007

Buscaminas

BuscaminasEl Buscaminas es un juego de deducción que suele instalarse junto al sistema operativo Windows. Esto hace que sea, quizás junto al Sudoku, uno de los juegos lógicos más populares del mundo.

Habrás jugado alguna vez. Al principio el tablero parece vacío, pero en ciertas casillas hay minas ocultas. Con tu mouse tenés que hacer clic en una casilla. Si hay una mina, explota y perdiste definitivamente. Si no hay mina, aparece un número, que indica la cantidad de minas en las ocho casillas circundantes. Así, un 2 indica que dos de esas ocho casillas tienen una mina, y un 8 que todas las casillas tienen una mina. Reuniendo pistas de diferentes casillas tenés que deducir la ubicación exacta de todas las minas del tablero.

Como suele ocurrir con estos juegos, la diversión no está sólo en resolverlos, sino también en perfeccionar estrategias para resolverlos. Cada uno tendrá las suyas: buscar los números más altos, buscar los más bajos, examinar los números de las esquinas y los recovecos, crecer a partir de lo ya sabido, explorar diferentes rincones del tablero... El juego también mide el tiempo que tardás en resolverlo, lo que implica un desafío adicional: no sólo hay que hacerlo bien, también hay que hacerlo rápido. Si sabés inglés, esta lista de consejos te puede resultar útil. Incluye sugerencias para la deducción (si estás obligado a señalar una casilla al tuntún, que sea la casilla menos riesgosa) y para mejorar el récord de tiempo (controlá la respiración antes de mover el mouse). Como verás, hay gente que se lo toma muy en serio; hace unos meses se realizó un torneo mundial de Buscaminas en la ciudad austríaca de Viena.

Si no lo tenés instalado, podés jugarlo online aquí. Como sucede con el original de Windows hay tres niveles, cada uno con diferentes tamaños y distinta cantidad de minas. Y si estás de vacaciones en una playa inaccesible o una sierra remota también podés practicarlo con lápiz y papel, al estilo de la Batalla Naval. Necesitás un rival y un tablero cuadriculado; por turnos se hacen preguntas el uno al otro. «¿F4?» «¡Mina!»

Ivan Skvarca

Miércoles 24 de Enero de 2007

Fondo y figura

¿Una mariposa o dos hipocampos?Hace unas semanas, el zoológico de Buenos Aires lanzó una campaña publicitaria con carteles grandes y coloridos. Mirándolos de cierta manera se ve la silueta de dos animales; mirándolos de una manera distinta, se ve la silueta de otro. Aquí al lado vemos un ejemplo, donde una mariposa surge entre dos hipocampos. Aquí están los demás. Entre dos cocodrilos aparece un águila; entre dos cerdos, una lechuza; entre dos elefantes, la cabeza de una serpiente. (Para verlos todos buscá la pequeña flecha en la parte inferior; un clic en la imagen te permite verla con un tamaño mayor.)

¿Cuál es la imagen principal: la mariposa o los hipocampos? Ambas, pero no simultáneamente. Depende de cómo se mire. La posibilidad de confundir o distinguir claramente entre el fondo y la figura fue muy estudiada por los especialistas en la percepción visual. Es posible que alguna vez te hayas cruzado con la famosa imagen donde puede verse tanto un jarrón como dos perfiles. El artista gráfico holandés M. C. Escher, que solía deleitarse con los engaños de la mirada, utilizó varias veces el recurso de mezclar deliberadamente el fondo y la figura; por ejemplo, convirtiendo peces en pájaros.

¿Y por qué ocurre esto? Aquí y aquí podés ver explicaciones y muchos más ejemplos.

Ivan Skvarca

Miércoles 17 de Enero de 2007

Rompecabezas de piezas deslizantes

PandaAlguna vez habrás jugado al Juego del 15, aunque quizás sin saber su nombre. En un tablero pequeñito, de cuatro casillas de lado, hay quince fichas numeradas del 1 al 15. El objetivo es dejarlas en el orden correcto, 1-2-3-4 en la primera fila, 5-6-7-8 en la segunda, y así, con el espacio vacío en la esquina inferior derecha. Podés jugarlo online, aunque si tenés tiempo y habilidad es muy placentero armar el propio rompecabezas con fichas de madera o plástico.

El juego fue inventado hace más de cien años y es popular todavía ahora. Suele ser usado en promociones publicitarias, quizás porque resulta fácil combinarlo con una fotografía; en este caso el objetivo es armar la imagen correcta.

Lo llamamos «rompecabezas de piezas deslizantes» porque lo único que hacen las piezas es deslizarse sobre la mesa, sin los saltos del Senku ni la tercera dimensión del Cubo Mágico. El objetivo siempre es alcanzar una configuración determinada de antemano.

Otro famoso ejemplar de esta familia fue conocido con el nombre comercial de Trabado. En este caso las piezas tienen distinta forma (cuadrados pequeños, rectángulos, cuadrados grandes) y el objetivo es liberar a una de esas piezas, la más incómoda de mover.

Alrededor de esa idea se crearon muchos otros rompecabezas. Aquí tenés una extensísima colección para jugar online y entretenerte todo el verano. Hay problemas especiales del Juego del 15, variantes del Trabado, rompecabezas antiguos, invenciones modernas. Es posible enfrentarlos moviendo las piezas al tuntún, sin pensar, con la esperanza de que alguna vez se arme mágicamente la solución; aunque reflexionar y analizar un poco el juego puede ser muy provechoso.

Ivan Skvarca

Miércoles 10 de Enero de 2007

Juegos de guerra

TEGEl ajedrez puede verse como la representación de una guerra. El tablero blanco y negro es el campo de batalla; cada bando, un ejército. La vanguardia está formada por la infantería, que se destaca por su número y capacidad de sacrificio pero no por su potencia de fuego. La caballería tiene un movimiento envolvente, las torres avanzan con rectitud y contundencia, el rey es la pieza crucial que hay que defender a toda costa.

Pero la comparación es muy imperfecta, especialmente cuando la guerra se vuelve más y más compleja. Aspectos fundamentales como la logística, las diferencias de terrenos y los daños relativos entre unidades militares no son tenidos en cuenta. En el siglo XIX se hicieron intentos de crear juegos que permitiera el entrenamiento de los oficiales del ejército, teniendo cuidado en el realismo de la topografía y de los armamentos. A mitad del siglo siguiente empezaron a comercializarse versiones simplificadas de esos juegos; así nacieron los wargames.

Por lo general esos juegos aluden a una batalla o una campaña específica de la historia, como la batalla de Stalingrado o la campaña de Napoleón en Egipto. Muchas veces están acompañados de miniaturas trabajadas con detalle, de plomo o de madera, con el uniforme de cada batallón reproducido minuciosamente. Para la resolución de los conflictos se suelen usar dados pero también tablas de resultados donde se enumeran los daños y la capacidad de defensa de cada variedad posible de armamento.

En 1950, Albert Lamorisse, que era director de cine y filmó la película El globo rojo, crea el Risk, una versión estilizada de los juegos de guerra. El objetivo no es modesto: hay que conquistar el mundo. Sin embargo se obvian todas las dificultades de cálculo; hay un solo tipo de ejército y los combates siempre se resuelven con dados. En la década del 70 aparece en Argentina el TEG, acrónimo de Tácticas y Estrategias de Guerra, que todavía hoy tiene enorme popularidad. La película Kamchatka, estrenada hace un par de años, toma su nombre de uno de los países del TEG.

Dice Wars es un paso más en la simplificación del juego. Los rivales son automáticos; si preferís enfrentarte a personas de carne y hueso, Kdice es su versión multijugador. Ambas versiones mantienen el azar de los dados que tiene tanto predominio en el Risk y el TEG, pero agregan una pequeña regla interesante: la reposición de fichas al final de cada turno es igual al mayor grupo de países conectados; por lo tanto, es crucial mantener la cohesión entre el propio territorio.

Ivan Skvarca

Miércoles 3 de Enero de 2007

Juegos a ciegas

A ciegasUn gran jugador de ajedrez suele demostrar su talento mediante partidas a ciegas. Está prohibido que mire el tablero; tiene que decidir las jugadas en su mente. Sus rivales, generalmente aficionados, juegan como de costumbre, con el tablero y las piezas frente a sus ojos; a pesar de eso, es usual que sean derrotados por el maestro.

Parece que la práctica del ajedrez a ciegas es casi tan antigua como el propio juego. El gran Philidor hizo muchas exhibiciones en Europa durante el siglo XVIII; aquí podés ver un cuadro de la época donde está rodeado de incrédulos caballeros. La Unión Soviética lo prohibió por considerar que requería tanto esfuerzo mental que era un grave riesgo para la salud. Miguel Najdorf jugó cuarenta partidas simultáneas a ciegas, de las que ganó 36 y empató una. Najdorf había nacido en Polonia y el estallido de la Segunda Guerra Mundial lo sorprendió en Argentina; según cuenta la leyenda, esa exhibición fue un intento de hacer algo muy pero muy notorio para aparecer en todos los diarios y de esta manera lograr que su familia, todavía en la Europa atravesada por la guerra, se enterara de que estaba vivo. Actualmente se juega un torneo anual de ajedrez a ciegas en la ciudad de Montecarlo.

La idea de jugar a ciegas no tiene por qué limitarse al ajedrez. Hay quienes resuelven el cubo mágico con los ojos vendados. Cuando le preguntás a los gritos a tu abuela que está en la cocina por una definición del crucigrama que se te resiste, ella está resolviendo un crucigrama a ciegas. No estaría mal extenderse a otros juegos. Se puede empezar con alguno muy sencillo, como el tatetí. Hay que establecer una nomenclatura clara para que sea posible indicar las jugadas solamente mencionándolas, sin dibujar ni tocar nada. Más adelante se puede incrementar el nivel de dificultad: el ludo, las damas, el backgammon, el reversi. ¿Y por qué no el truco o el chinchón?

Ivan Skvarca

Miércoles 27 de Diciembre de 2006

Los cuatro cuatros

Cuatro cuatrosEl planteo es sencillo. Con cuatro cuatros y todas las operaciones matemáticas que necesites tenés que llegar al resultado 1. Por ejemplo:

44 / 44 = 1

No hay dudas: cuarenta y cuatro dividido cuarenta y cuatro es 1. Como podés ver, los cuatros se pueden yuxtaponer para formar un único número.

¿Y cómo se puede llegar al resultado 2 usando cuatro cuatros? Esta es una posibilidad.

( 4/4 ) + ( 4/4 ) = 2

¿Podés conseguir todos los resultados del 1 hasta hasta 10 usando solamente cuatro cuatros? Los dos primeros ya están resueltos. Y si lo cumplís, ¿serás capaz de enfrentarte a la casi imposible tarea de conseguir todos los resultados hasta 100?

Al principio pueden bastar las operaciones más sencillas (suma, resta, multiplicación, división) pero para los casos difíciles quizás tengas que recurrir a raíces cuadradas, potencias o factoriales. Pero en ningún caso puede aparecer otra cifra y tampoco puede faltar ninguno de los cuatro cuatros.

El mismo desafío funciona con cinco cincos o con las cifras 1234. Elegí el que más te guste. También podés probar con el año de tu nacimiento. ¿Cómo llegar al resultado 1 usando las cifras de 1992 o de 1985?

Ivan Skvarca

Miércoles 20 de Diciembre de 2006

El juego de los cuadraditos

TableroPara el juego de los cuadraditos se necesita una hoja de papel, uno o dos lápices y un adversario.

Primero hay que dibujar el tablero, marcando puntos que formen un diseño cuadrado. Aquí al lado ves un ejemplo. También se puede usar una hoja cuadriculada. El tamaño lo elegís vos; naturalmente, cuanto más grande sea, más durará el juego.

En su turno, cada jugador une con una línea dos puntos vecinos que estén desconectados. El que con su trazo logra cerrar por completo un cuadradito, lo captura, y tiene derecho a dibujar un trazo más. Cuando el tablero se llena, gana quien haya capturado más cuadraditos.

Eso es todo.

Algunas movidasEn la imagen vemos, primero, tres movidas iniciales. En el cuarto esquema la situación está más avanzada: uno de los jugadores logró cerrar un cuadradito y por eso dibuja su inicial adentro.

El juego es muy popular en todo el mundo; un pasatiempo ideal para las horas libres y los recreos, pero también para las tardes más calurosas del verano. Los jugadores novatos hacen trazos al tuntún hasta que surge la posibilidad de capturar un cuadradito, pero los expertos pueden descubrir estrategias sutiles para quedarse con la victoria. Pensá, por ejemplo, que es obligatorio trazar una nueva línea luego de capturar un cuadradito, pero que no hay ninguna regla que te obligue a capturar todos los cuadraditos posibles. La mejor movida no siempre es la más golosa.

Algún día podés probarlo con tableros más raros; por ejemplo, con los puntos acomodados en forma de triángulo. El juego también admite su versión dual. Olvidate de los puntos y en su lugar acomodá monedas siguiendo ese mismo diseño. Conectá cada par de monedas con fósforos. En su turno, el jugador debe retirar un fósforo. Cuando deja una moneda aislada, sin ningún fósforo, la puede tomar para sí, y tiene derecho a quitar otro fósforo.

Ivan Skvarca

Miércoles 13 de Diciembre de 2006

Cara o ceca

¿Cara o ceca?Antes de empezar un partido de fútbol, los dos capitanes se reúnen con el árbitro en el círculo central para hacer un sorteo; el ganador elige en qué arco juega su equipo. El sorteo consiste, simplemente, en revolear una moneda.

Donde sea que haya monedas, las monedas se revolean. Tirar una moneda al aire es un pasatiempo antiguo y extendido; una máquina de azar sencilla y barata. Los romanos lo llamaban navia aut caput, que en latín quiere decir «barco o cabeza»; como habrás imaginado, las monedas romanas tenían un navío de un lado y una efigie o un rostro del otro. En Argentina hablamos de cara o ceca. Una ceca es un taller donde se fabrica moneda; algunas monedas antiguas tenían impreso, en uno de sus lados, el lugar donde habían sido acuñadas. En las monedas actuales hay soles, escudos, Casas de Tucumán y Cabildos, pero ningún rostro y ninguna casa de acuñación de monedas: es difícil decidir cuál es la cara y cuál la ceca. En Colombia, Chile y Venezuela se habla de cara o sello. En Ecuador, de sello o cruz. En España y Puerto Rico, de cara o cruz. En México, de águila o sol. ¿Cómo se le dice en tu país?

La ciencia de revolear la moneda recibió cierta atención de físicos, matemáticos y estadísticos. Uno construyó una máquina que revolea monedas, para estudiar la influencia de los distintos factores involucrados. Otro calculó la probabilidad de que una moneda caiga sobre su canto. (Con una moneda de cinco centavos de dólar eso ocurre en 1 de cada 6000 lanzamientos.) Si se lanza una moneda al aire y se ataja en la mano, es ligeramente más probable que salga lo mismo que mostraba al principio. Los magos e ilusionistas se entrenan en revolear la moneda para que caiga de determinada manera.

Si la moneda está adulterada y produce más caras que cecas, o al revés, todavía es posible usarla para realizar un sorteo equilibrado. El procedimiento es así. Primero, se lanza la misma moneda dos veces. Si en ambas ocasiones el resultado es el mismo, se descartan ambos lanzamientos y se vuelve a intentar. Si el resultado es diferente, se elige el primero.

Hay muchos sitios web donde podés lanzar una moneda virtual. Aquí es posible elegir entre diferentes monedas del mundo. Este otro lugar tiene la ventaja de que todas las personas conectadas a la página pueden ver el mismo resultado; ideal para resolver una discusión con un amigo del chat.

Ivan Skvarca

Miércoles 6 de Diciembre de 2006

Falacias

FalaciasLas falacias son razonamientos engañosos; argumentos que parecen válidos y correctos, pero en realidad son totalmente erróneos. Las falacias suelen poblar los debates y las discusiones, y también los noticieros de televisión y los artículos de los diarios. Fueron estudiadas y catalogadas a partir de las acaloradas controversias teológicos de la escolástica medieval, y por eso hay muchas que tienen pintorescos nombres en latín.

La falacia Ad Hominem consiste en rechazar un argumento impugnando o descalificando a la persona que lo plantea. «¡Cómo te atrevés a hablar de física nuclear si te estás quedando calvo!» En la falacia Post Hoc Ergo Propter Hoc se considera que algo es causa de otra cosa sólo porque es anterior en el tiempo. La falacia Ad Baculum consiste en utilizar la fuerza o la amenaza para volver convincente un argumento; baculum, claro, es la palabra en latín para un bastón o garrote: quien no me cree recibe un bastonazo y sanseacabó. En la falacia Non Sequitur se extrae una conclusión equivocada del conjunto de premisas.

Hay otras falacias que tienen nombres pintorescos. Con la falacia del muñeco de paja se altera la tesis rival para luego atacarla y ridiculizarla más fácilmente. La falacia de composición consiste en atribuirle al conjunto características que tienen los elementos por separado. «Cada ladrillo de esa pared mide veinte centímetros, por lo tanto toda la pared mide veinte centímetros.» La falacia de la pendiente resbaladiza postula una serie de consecuencias que se irán encadenando como fichas de dominó al caer, pero, sin embargo, la relación causal es endeble. La falacia de la pregunta compleja consiste en incluir un supuesto dentro de una pregunta que se está haciendo.

Hay muchas otras; las falacias atraviesan inevitablemente los discursos públicos y las discusiones privadas. Es divertido tratar de descubrirlas; a veces uno mismo cae en una. Este manual puede ayudarte a conocerlas más en detalle.

Ivan Skvarca

Miércoles 29 de Noviembre de 2006

Charadas

CharadasEn una charada se define una palabra luego de trozarla en partes con significado independiente. Cada parte suele estar numerada y se llega a ella después de resolver los desafíos interiores. Generalmente las charadas vienen en verso, como ocurre con esta:

Mi primera son tus ojos,
Tus ojos son mi segunda,
Mi todo tus ojos son,
Acierta esta barahúnda.

Se dice que grandes escritores como James Joyce, Schiller, Jane Austen, Fernando Pessoa o Lewis Carroll cultivaron, en algún momento de sus vidas, el arte de componer charadas.

Esta otra es española y galante:

En segunda de primera
van mil todos por la acera.

Y estas dos estrofas fueron extraídas de una misma charada:

Tres sílabas sólo tiene
este noble vegetal;
con la primera y tercera
todos juegan al billar.
Primera y segunda es hueso
coyuntura de animal;
y la segunda y primera
es traje holgado y talar.

(Si descubrís las soluciones, podés dejarlas en los comentarios.)

Ivan Skvarca

Miércoles 22 de Noviembre de 2006

Los puentes de Koenigsberg

KoenisbergLa semana pasada hablábamos de dibujos con un solo trazo; hoy vamos a dar un paseo por una antigua ciudad a orillas del Báltico.

La ciudad ahora se llama Kaliningrado y pertenece a Rusia, pero en el siglo XVIII su nombre era Koenigsberg y formaba parte de la Prusia Oriental. Era —y lo es todavía— un puerto muy activo; allí nacieron el filósofo Immanuel Kant, el escritor E. T. A. Hoffman y el matemático David Hilbert.

La ciudad está atravesada por un río, y en el río hay dos grandes islas. Siete puentes conectan las dos islas entre sí y con las riberas. En la ilustración podemos ver un mapa de la ciudad, con las islas y los puentes tal como lucían en aquel siglo.

Los domingos de sol, los habitantes de esta próspera ciudad se hacían una pregunta crucial: ¿es posible dar un sereno paseo que cruce una vez cada puente y vuelva al punto de partida? El problema le llegó a Leonhard Euler, uno de los más importantes matemáticos de la historia, y tratando de resolverlo inventó una nueva disciplina de las matemáticas: la teoría de grafos.

San PetersburgoLo primero que hizo Euler fue eliminar toda la información irrelevante para el problema: el sinuoso perfil de la orilla, la ubicación del mercado o de la iglesia, la serenidad de los paseantes domingueros. Después reemplazó cada orilla y cada isla con un punto, y cada puente con una línea que conectaba esos puntos. El plano de la ciudad quedó transformado en una estructura matemática llamada grafo, compuesta por vértices (los puntos, que representan a las islas y las orillas) y arcos o aristas (las líneas, que representan a los puentes).

El problema se convirtió en otro, pero siguió siendo el mismo. Ahora es equivalente a dibujar la figura sin levantar el lápiz y sin pasar dos veces por la misma línea. Ya podrías decir, a partir de lo que vimos la semana pasada, si es posible o no hacer ese paseo por los puentes de Koenigsberg.

Tiempo después, el matemático y divulgador ruso Yakov Perelman se preguntó qué pasaría con la ciudad de San Petersburgo, que tiene más islas y más puentes. Te mostramos un mapa de la ciudad. ¿Es posible dar un paseo que cruce una vez y solo una vez todos los puentes y termine en el punto de partida?

Ivan Skvarca

Miércoles 15 de Noviembre de 2006

Dibujos con un solo trazo

Un solo trazoEs imposible dibujar la A mayúscula con un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer una misma línea dos veces. Hacé la prueba.

Visitemos el resto del abecedario, siempre con mayúsculas. ¿Cuáles son las letras que tampoco se pueden dibujar con un solo trazo? Hay varias; por ejemplo, la H, la X o la F. Naturalmente, la Ñ exige levantar el lápiz, porque está formada por líneas separadas. ¿Hay alguna que sí se pueda dibujar? Claro: la O, la R o la M.

Demos un salto a diseños más complejos. Aquí te mostramos cuatro. ¿Cuáles se pueden dibujar con un solo trazo?

Quizás sea el momento de que consigas mucho papel y un buen lápiz, para ponerte a hacer garabatos.

Los dos diseños de la derecha se pueden dibujar con un solo trazo. Los dos de la izquierda, en cambio, no. ¿Por qué? ¿Cómo podemos estar seguros? Quizás haya una manera de hacer el dibujo pero todavía no la encontramos. ¿Se puede saber de antemano, sin gastar cuadernos completos en garabatos, cuál dibujo se puede realizar con un solo trazo y cuál no? Seguí leyendo.

Otro trazo soloTomemos la casa. Fijémonos solamente en los vértices: los puntos donde se encuentran tres o más líneas. Hay cuatro vértices. Digamos que un vértice es impar si allí se encuentran una cantidad impar de líneas: tres, cinco, siete... Si en un vértice se encuentran una cantidad par de líneas, entonces lo llamaremos vértice par. En nuetra casa, los cuatro vértices son impares, porque en todos se encuentran tres líneas.

Si en un diseño hay más de dos vértices impares, entonces no se puede dibujar con un solo trazo.

¿Por qué? Hacé zoom sobre un vértice impar; supongamos que tiene sólo tres líneas. Tu lápiz usará una línea para llegar a ese vértice, y usará otra para salir de ese vértice. Si usa la línea restante para llegar, no podrá salir. Podés darte el lujo de tener hasta dos vértices impares. En ese caso, tenés que empezar tu trazo en uno de ellos y terminarlo en el otro. Pero si tenés más de dos vértices impares, entonces no podrás recorrer el diseño con un solo trazo.

Ivan Skvarca

Miércoles 8 de Noviembre de 2006

Campo semántico

SinónimosSi tu procesador de textos incluye diccionario de sinónimos ya podés jugar al juego del campo semántico. (En los procesadores de texto más habituales podés ver los sinónimos de una palabra marcándola y presionando luego Mayúsculas y F7.) El juego es muy fácil.

Primero elegís dos palabras. No importa cuáles sean, pero tratá de que no tengan nada que ver una con otra. Por ejemplo, alma y ladrillo. Una es la palabra de partida; el objetivo del juego es llegar a la otra mediante una cadena de sinónimos.

Anotás la primera palabra, alma, y buscás un sinónimo: por ejemplo energía. Luego buscás un sinónimo de energía, que puede ser fibra. Y seguís con un sinónimo de fibra... Es como recorrer un laberinto formado de palabras. Nosotros seguimos el camino veta, masa, bloque, piedra... estamos cerca, pero todavía no alcanzamos el ladrillo.

Utilizar tu computadora hace las cosas más fáciles, pero por supuesto podés jugar con un diccionario de sinónimos impreso en papel, o con alguno que encuentres en internet (aquí y aquí hay dos diccionarios gratuitos).

¿Y por qué se llama «juego del campo semántico»? Acá te lo explican.

Ivan Skvarca

Miércoles 1 de Noviembre de 2006

El juego de go

GoEl juego chino weiqi es conocido entre los occidentales por su nombre japonés: go.

Sobre un tablero de 19 por 19 intersecciones —se juega sobre las intersecciones, no sobre las casillas— dos jugadores, por turno, ubican piedras; uno blancas, el otro negras. El objetivo es encerrar la mayor cantidad de terriorio. Las piedras ubicadas ya no se mueven, pero existe la captura: si un grupo de piedras es rodeado por el rival, es quitado del tablero hasta el final del juego. Para evitarlo, es necesario construir ojos en las propias formaciones. Pocas reglas más son necesarias para este juego vacío de complicación y lleno de complejidad.

Quizás valga la conocida comparación con el ajedrez, que Occidente adoptó como el arquetipo de los juegos de inteligencia. Ambos pueden ser considerados métaforas de una guerra, pero el ajedrez es una guerra entre Estados, con su corte y sus cortesanos: hay una jerarquía perfectamente definida entre las piezas, desde los peones, numerosos y sacrificables, hasta el rey, la única letal. Hay una línea de batalla, hay retaguardia, hay flancos. En el go es una guerra sin línea de combate, sin enfrentamiento; en último extremo, sin batalla. Las piezas del go eluden la jerarquía: son todas equivalentes, sólo valen en su relación con otras y por su posición relativa en el tablero.

El juego es muy popular en todo Oriente, especialmente en Japón, donde está muy imbricado con su cultura, su filosofía y su historia. Durante siglos, los nobles, los sacerdotes y los samurais consideraban un gran orgullo la habilidad para jugar al go.

En Argentina existe la Asociación Argentina de Go, pequeña pero muy activa, que organiza torneos y reuniones. En su sitio web podés encontrar mucho material interesante.

Ivan Skvarca

Miércoles 25 de Octubre de 2006

Los afinadores de piano y otros problemas de estimación

Piano¿Cuántos afinadores de piano hay en la ciudad de Rosario? Es difícil decir, al tuntún, ni siquiera una cantidad aproximada. ¿Cuántos dírías que hay? ¿Serán tres, serán tres mil, serán treinta mil? ¿Podríamos al menos hacer una estimación razonable? Veamos.

• Rosario tiene un millón de habitantes.
• En promedio, habrá dos personas por casa. Habrá entonces quinientas mil casas en Rosario.
• Supongamos que una casa de cada cincuenta tiene un piano que es afinado regularmente. Hay entonces diez mil pianos afinados en la ciudad.
• Un piano bien afinado tiene que ser afinado una vez al año.
• Afinar un piano lleva unas dos horas de trabajo, contando el tiempo de viaje.
• Un afinador trabaja ocho horas por día, cinco días a la semana, cincuenta semanas al año.

Haciendo las cuentas, resulta que un afinador de pianos puede afinar mil pianos por año. Como decíamos que hay diez mil pianos en Rosario, entonces debe haber diez afinadores de pianos en toda la ciudad.

Por supuesto, el resultado puede estar equivocado. No es exacto. Pero un enfoque así tiene dos ventajas. La primera ventaja es que nos da una idea aproximada de la respuesta que buscábamos. Antes dudábamos entre tres y tres mil; ahora tenemos una cantidad en donde nuestra intuición puede reposar. La segunda ventaja es que quedan claramente identificados los supuestos de nuestro cálculo. Para mejorar la respuesta podemos obtener información más precisa que nos ayude a ajustar alguno de esos supuestos; por ejemplo, la población actualizada de la ciudad o un mejor análisis del trabajo anual de un afinador.

Las siguientes preguntas también parecen inaccesibles, pero pueden ser respondidas aproximadamente usando un enfoque similar.

1. ¿Cuántas tizas se usan por año en las aulas de todo el país?
2. ¿Cuántos pelos tenés en la cabeza?
3. ¿Qué volumen ocuparía toda la sangre de todos los habitantes del mundo?
4. ¿Cuántas palabras pronunciaste en tu vida?
5. ¿Cuántos vasos de agua serían necesarios para vaciar el Océano Atlántico?

Las preguntas de este tipo, a las que sólo se les puede dar una respuesta estimada y provisional, son conocidas como problemas de Fermi. Enrico Fermi fue un físico italiano que trabajó para Estados Unidos en el desarrollo de la tecnología nuclear. Parece que era muy bueno en hacer cálculos rápidos y aproximados; una vez calculó la potencia de una explosión atómica lanzando unos papelitos al aire.

Ivan Skvarca

Miércoles 18 de Octubre de 2006

Divisibilidad

Divisibilidad indefinida, de Yves TanguyLas «reglas de divisibilidad» son trucos pequeños y rápidos para saber si un número grande es divisible por otro. Gracias a ellas podemos decidir en un santiamén si el número 279148 es divisible por 4.

Por ejemplo, es fácil saber si un número es divisible por 5: tiene que terminar en 0 o en 5. Para que sea divisible por 2, la última cifra debe ser par. Todos los números que terminan en 0 son múltiplos de 10.

Las reglas de divisibilidad también nos pueden ayudar a resolver acertijos.

Pensá en éste. ¿Cómo hay que ordenar las nueve cifras del 1 al 9, sin repetirlas y usándolas todas, para obtener un múltiplo de 9? Recordarás que un número es múltiplo de 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. La respuesta, entonces, sale de inmediato: cualquier orden que tomen las cifras del 1 al 9 formará un número múltiplo de 9.

Otro acertijo tradicional dice más o menos así: ¿Qué cifra hay que poner en lugar de la X para que el número 584X7439 sea múltiplo de 11? Recordamos: para saber si un número es múltiplo de 11, se suman las cifras ubicadas en posición par (en este caso, 5, 4, 7 y 3) y las cifras ubicadas en posición impar (en este caso, 8, 4, 9 y la incógnita). Si la diferencia entre los dos resultados es 11 o múltiplo de 11, entonces el número es divisible por 11. Como uno de los resultados es 19 y el que tiene la incógnita es 21, hay que reemplazar esa X incógnita con un 9. Y listo.

(La imagen muestra el cuadro Divisibilidad indefinida, del pintor surrealista Yves Tanguy.)

Ivan Skvarca

Miércoles 11 de Octubre de 2006

El cubo mágico

Cubo mágicoEl cubo mágico o cubo de Rubik fue inventado por el arquitecto húngaro Erno Rubik y hacia 1980 todo el mundo hablaba de él, lo tenía en sus manos, intentaba resolverlo. Luego, lentamente, ese furor fue menguando, hasta que en los últimos años, quizás alimentado por la nostalgia, el interés en el cubo renació.

Lo habrás visto y lo habrás jugado. Tiene unos seis centímetros de lado y cabe fácilmente en la mano. Está compuesto por pequeños cubitos coloridos que se mueven mediante un complejo mecanismo interior. El objetivo es lograr que cada una de las caras del cubo muestre un único color.

Es placentero hacer girar las caras distraídamente, pero como todo buen rompecabezas mecánico permite un acercamiento más sensato y analítico. Circulan muchos sistemas para resolverlo; aquí en TamTam señalamos uno. En los últimos años se organizaron diversos campeonatos; aquí podés ver un completo calendario de competencias y algunos récords mundiales de velocidad. Participan verdaderos expertos; para convencerte mirá este video donde alguien resuelve el cubo mágico en veinte segundos... y con una sola mano.

Para muchos, el cubo mágico fue apenas el principio. Con entusiasmo se dedicaron a explorar variantes: cubos de otros tamaños, rompecabezas de otras formas. Con orgullo muchos exhiben sus colecciones en la web: aquí tenés una, dos, tres. Hasta existe un sitio que alberga colecciones de varios cubólogos. Hay un cubo magnético, donde el mecanismo interior es reemplazado por imanes; hay un cubo táctil, en el que cada color tiene distinta suavidad o aspereza, ideal para resolver de noche sin prender la luz.

La imagen fácilmente reconocible del cubo mágico fue aprovechada con rapidez por diseñadores y artistas; por ejemplo, en esta mesa con forma de cubo (aunque no aclaran si se puede armar y desarmar). Un pintor tituló sus obras monocromáticas Rubik resuelto. Jacob Davenport realiza primorosos tapices. Un grupo de artistas reúne a dos de los íconos lúdicos de la década de 1980, el cubo mágico y los marcianitos del Space Invaders, para crear sus instalaciones, algunas ubicadas en la calle.

Ivan Skvarca

Miércoles 4 de Octubre de 2006

Perder la cabeza

¡Mi cabeza!Entre los juegos de lenguaje, la decapitación consiste en eliminar la primera letra de una palabra para obtener otra, que estaba cuidadosamente agazapada en su interior.

Por ejemplo, decapitando a Mariel se llega a Ariel; decapitando la gastronomía se llega a la astronomía; decapitando a Prusia queda Rusia. Decapitar una parte puede ser un arte, y cuando se decapita a un galgo, algo queda.

Aquí en TamTam solemos publicar acertijos con este mecanismo, bajo el nombre Sacapuntas, menos cruel y menos sanguinario.

Una versión más sofisticada busca las decapitaciones progresivas. La palabra que se obtiene se decapita a su vez, y así hasta quedarse con casi nada. En nuestro idioma no hay (¡por ahora!) decapitaciones progresivas muy logradas. Según parece, la mejor está en griego y empieza con Napoléon. Quitando las sucesivas cabezas y ordenando las palabras se puede formar la frase Napoleon On Oleon Leon Eon Apoleon Poleon, que según dicen se deja traducir como «Napoléon, el león del pueblo, defiende la ciudad».

Más al alcance de toda guillotina es el ejercicio de la decapitación silábica. En lugar de eliminar la primera letra, se elimina la primera sílaba. Por ejemplo:

adivino/divino/vino/no

que podría entenderse como la descripción de un encantador mentalista abstemio.

¿Tenés otras decapitaciones interesantes? Dejalas en los comentarios.

Ivan Skvarca

Miércoles 27 de Septiembre de 2006

Scrabble

Letras difícilesLa historia del Scrabble (o Scrabel, como se lo conoce en algunas versiones en castellano) empieza durante la Gran Depresión estadounidense de la década de 1930. Alfred Butts, que era arquitecto, pierde su trabajo, y aprovecha ese tiempo para dedicarse a inventar juegos de palabras.

El Scrabble llega en 1931, aunque todavía con otro nombre: Lexico. Las más importantes empresas de juegos de la época rechazan la idea, y entonces él se dedica a fabricar ejemplares en su casa, para vendérselos a amigos y conocidos.

El juego todavía no tiene tablero. Butts decide agregarlo en 1938, al comprobar la popularidad creciente de los crucigramas en los diarios y revistas. El actual Scrabble ya estaba casi formado: de aquella época se conserva el tamaño del tablero y la distribución y valores de las letras. Después de la Segunda Guerra Mundial se asocia a James Brunot, que se encarga de fabricar el juego. Es él quien le da el nombre con el que lo conocemos actualmente. El 1º de diciembre de 1948 obtienen la patente por el juego. Unos años después, en 1952, una gran tienda de Nueva York empieza a promocionarlo. Simplemente, el dueño lo había probado en las vacaciones y le había gustado. A partir de entonces se desata el frenesí.

Actualmente se juega en multitud de países en todo el mundo y se organizan muchos torneos en clubes o en asociaciones nacionales; incluso campeonatos mundiales. Si te gusta jugar al Scrabble seguro que podrás encontrar rivales.

El Scrabble también está traducido a decenas de idiomas. ¿Cómo se traduce un juego en el que vos tenés que inventar las palabras? En primer lugar, algunos idiomas tienen letras especiales; por ejemplo, en la versión en castellano hay fichas para la CH, la RR y la Ñ, que naturalmente no existen en la versión en búlgaro. En segundo lugar, en cada idioma cambia la cantidad de fichas para cada letra y los puntajes de esas letras. En italiano, la letra que tiene más fichas es la O; en francés es la E; en malayo es la A. En sueco, la C vale 8 puntos, un montón: será que hay pocas palabras con C en esa lengua; en castellano vale apenas 3 puntos. En esta página podés ver la distribución y los puntajes de las letras en diferentes versiones del juego.

Ivan Skvarca

(La fotografía fue publicada por Ewan McDowall en Flickr, bajo una licencia de Creative Commons.)


Miércoles 20 de Septiembre de 2006

Combate de algoritmos

Combate de algoritmosUn algoritmo es un conjunto ordenado de instrucciones que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema. Por ejemplo, este sería el algoritmo para hablar por teléfono con Gladys.

  1. Levantar el tubo.
  2. Verificar que tiene tono. Si no tiene tono, colgar el tubo y dejar la llamada para otro momento.
  3. Teclear los números.
  4. Esperar mientras se escucha el tono de llamada.
  5. Si atiende el contestador automático, dejar un mensaje. Si responde Gladys diciendo «¡Hola!», hablar con ella.
Si no sabemos el número de Gladys de memoria, en el paso 3 puede ser necesario recurrir a otro algoritmo, «cómo encontrar el teléfono de Gladys»: encontrar la agenda, abrir la agenda en la letra G, buscar el número de Gladys...

Quizás uses algoritmos en la vida cotidiana; por ejemplo, al programar la videocasetera o en cierta medida al seguir una receta de cocina. Pero los algoritmos son fundamentales en la informática. Un programa de tu computadora (desde alguno sencillísimo que te permita encontrar números múltiplos de 7 hasta el Half Life) no es otra cosa que un algoritmo adecuadamente formalizado en un lenguaje de programación.

Te contamos un juego de dados. Se llama El Uno.

En su turno, cada jugador tira el dado una y otra vez, sumando los números que vayan saliendo, hasta que pase una de estas dos cosas:

  1. Decide plantarse. En este caso, se anota tantos puntos como haya sumado hasta ese momento, y le pasa el dado al jugador siguiente.
  2. Sale el 1. En este caso, pierde todo lo que haya acumulado en ese turno, y le pasa el dado al jugador siguiente.
Podés probarlo con tus amigos un rato. ¿Cómo conviene jugar? ¿Tirar el dado como loco hasta sumar muchísimos puntos? ¿Ser demasiado prudente y conformarse con ir sumando de a cinco o diez puntos?

En Bits en el Ring organizan competencias de algoritmos que juegan juegos simplísimos como El Uno. Los participantes no son personas, sino esos conjuntos de instrucciones de los que hablábamos antes. Por ejemplo, un algoritmo podría ser:

Tirar el dado hasta acumular por lo menos 15 puntos. Ahí plantarse.
Otro algoritmo posible sería:
Tirar el dado dos veces. Ahí plantarse.
Una tercera posibilidad:
Tirar el dado hasta acumular puntos suficientes para alcanzar el liderato en la tabla de posiciones. Ahí plantarse.
¿Cuál de todos estos será el mejor? Si te interesan estas cuestiones, te recomendamos darte una vuelta por Bits en el Ring y pensar y proponer tu propio algoritmo campeón.
Ivan Skvarca

Miércoles 13 de Septiembre de 2006

Vidrieras y marquesinas

HotelLa palabra OSO no solamente es capicúa: también puede leerse igual cuando estás haciendo la vertical (o cuando ponés el monitor cabeza abajo). ¿Cuál será la palabra más larga con esta característica? No encontramos ninguna mejor que la crucigramística OSOSO, pero quizás tengas mejor ojo.

Con letras minúsculas puede ser distinto, claro. Como muestra, este mínimo acertijo. ¿Cuántas veces se lee la palabra «uno» en esta tira de letras?

unounounouno

No te apresures: no son cuatro veces. Si ponés el monitor cabeza abajo (o hacés la vertical) la podrás leer tres veces más.

Otras palabras son especialmente adecuadas para escribir sobre vidrieras, porque se leen igual desde adentro y desde afuera del negocio. Por ejemplo, AMA. ¿Cuál será la más larga en este caso?

La marquesina de la foto se leerá bien desde el otro lado, pero desde aquí sólo tres letras son correctas. Hay ciertas palabras especialmente aptas para las marquesinas, porque escritas verticalmente se leen igual desde una y otra dirección de la calle. Por ejemplo, la palabra TAXI. Hacé la prueba y escribila, así en mayúsculas, poniendo una letra debajo de la otra. Si das vuelta el papel, se seguirá leyendo, a trasluz, la misma palabra. ¿Cuál será la más larga? Se nos ocurre, si buscar demasiado, la palabra TIOVIVO. ¿Habrá alguna mejor?

Ivan Skvarca

Miércoles 6 de Septiembre de 2006

Deep Blue, El Turco y los autómatas del ajedrez

El TurcoEn abril de 1997 una noticia recorrió los diarios de todo el mundo y los noticieros televisivos: por primera vez en la historia una computadora le ganaba un match de ajedrez al campeón humano. El humano derrotado fue el célebre Garry Kasparov; la computadora se llamaba Deep Blue y fue fabricada por IBM y programada por un batallón de expertos en computación y maestros de ajedrez.

El triunfo de la computadora tuvo, sobre todo, efectos simbólicos. En Occidente, el ajedrez es considerado el juego de inteligencia arquetípico; que una computadora le gane al mejor ser humano mostraba algo, no quedaba claro qué, acerca de la inteligencia de las máquinas.

Los intentos de crear artefactos que jugaran y ganaran al ajedrez tienen una larga tradición. Quizás el más famoso de todos haya sido El Turco, creado por el barón Von Kempelen, que recorrió toda Europa a fines del siglo XVIII y según parece no era más que un engaño: el barón Von Kempelen no era barón y el supuesto artefacto mecánico en realidad escondía un ajedrecista esmirriado en un compartimento secreto de la estructura de madera.

Hoy, cualquiera que tenga una computadora en su casa puede instalar un programa que juegue al ajedrez o a cualquier otro juego de estrategia. Estos programas son capaces de ganarnos siempre, por más esfuerzo mental que pongamos en derrotarlos; claro que la mayoría de nosotros no somos campeones mundiales de ajedrez.

¿Entonces las máquinas son inteligentes? Todavía sabemos demasiado poco acerca de lo que sea la inteligencia. Veremos cómo sigue la historia.

Ivan Skvarca

Miércoles 30 de Agosto de 2006

La paradoja del mentiroso

¡Mentiroso!Un pelirrojo dice: «Los pelirrojos siempre mentimos». Lo que dice, ¿es verdad? Si fuera verdad, debería ser cierto que todos los pelirrojos son mentirosos; como él mismo es pelirrojo, él debería estar mintiendo. Entonces, si fuera verdad debería estar mintiendo. Un absurdo.

Pero si fuese mentira, los pelirrojos deberían decir la verdad; por ejemplo, él mismo, que es pelirrojo. Entonces, si fuera mentira debería decir la verdad. Otro absurdo más.

Pero si lo que dice no es verdad ni es mentira, ¿qué es? Ya lo habrás adivinado: una paradoja.

Esta paradoja es conocida como la paradoja del cretense —porque en una de sus versiones más famosas se refiere a los nacidos en esa isla griega— o la paradoja de Epiménides —a veces él es el protagonista de la historia—.

Aparentemente similar es la la paradoja del mentiroso. La formulación más simple se reduce a una sola oración: «Esta frase es falsa». ¿Es una frase falsa o verdadera? Si fuera verdadera debería ser falsa, si fuera falsa debería ser verdadera. Y de allí no se sale.

También hay versiones más complicadas. Fabricá una tarjeta que diga, de un lado, «La frase del otro lado es falsa» y, del otro, «La frase del otro lado es verdadera». ¿Cuál es verdadera? ¿Cuál es falsa? ¿A quién creerle?

Aunque ambas paradojas, la de los pelirrojos y la del mentiroso, tienen muchos puntos en común y parecen equivalentes, en realidad hay sutiles diferencias. ¿Se te ocurre cuáles?

(La imagen muestra un viejo truco óptico y podría ser visto como el retrato del pelirrojo, del cretense o de Epiménides. Si mirás el perfil inclinando un poco tu cabeza, podés leer Liar, que en inglés significa «mentiroso».)

Ivan Skvarca

Miércoles 23 de Agosto de 2006

El gnomo volátil y otras desapariciones ingeniosas

Andá a esta página. Vas a ver un dibujo dividido en tres partes. El dibujo muestra a quince gnomos bastante felices y bastante verdes. Contálos. Podés estar seguro: son quince.

Hacé clic en la imagen. Con el clic, las dos partes superiores del dibujo intercambian posiciones: la que estaba a la derecha pasa a la izquierda, y la que estaba a la izquierda pasa a la derecha.

Los gnomos siguen siendo bastante felices y bastante verdes. ¿Siguen siendo quince? No. Contálos. Ahora son catorce. ¿Dónde está el gnomo que desapareció?

El truco de los gnomos es obra de Pat Lyons. Muchos años antes Sam Loyd creó un artilugio similar. Trece guerreros chinos están sobre la circunferencia del globo. Si se gira el disco central, los guerreros chinos pasan a ser solamente doce. ¿Dónde se fue el que falta?

EjemploSi seguís leyendo te lo explicamos.

El esquema de la izquierda está formado por dos tarjetas unidas. Se ve claramente cómo se forman cinco barras rojas. Si una de las tarjetas se desplaza hacia un lado, quedan solamente cuatro barras rojas, como se ve en el esquema de la derecha. ¿Cómo desapareció la quinta?

El truco es evidente. Ahora hay cuatro barras, sí, pero más largas que las anteriores. De alguna manera, la barra «desaparecida» se repartió entre las otras cuatro.

Algo similar ocurre con los gnomos y con los guerreros chinos. Los dibujantes, con mucha habilidad, lograron disimular el efecto, que en el caso de las barras rojas es muy burdo; sin embargo, si mirás con atención, verás que los catorce gnomos son ligeramente más grandes que los quince originales, y que lo mismo ocurre con los chinos.

Ivan Skvarca

Miércoles 16 de Agosto de 2006

Juegos solo

Huellas al revésEl colectivo no viene. La persona a la que estás esperando se retrasó. El paisaje por la ventanilla es monótono. Llegaste demasiado temprano al consultorio. El camino hasta la escuela ya te lo sabés de memoria. La cola del supermercado no avanza. Todas esas situaciones son ideales para jugar solo. ¿A qué podés jugar? Te damos algunas ideas.

Buscá anagramas. Fijate en los carteles o en las etiquetas, elegí una palabra y tratá de hacer un anagrama con ella. (Como recordarás, un anagrama es una palabra que tiene las mismas letras pero en otro orden, como enigma e imagen.) ¿Hay un anagrama para «rotisería»? ¿Y si suprimís una letra?

Construí un alfabeto. Buscá un anuncio, un cartel o una inscripción cualquiera que tenga la letra A. Cuando la encuentres, buscá la B, y después la C. Seguí así hasta la Z. ¿Cuánto tiempo te lleva? ¿Cuántas cuadras tuviste que caminar?

Memorizá cadenas de palabras. Elegí una palabra que tengas a la vista. Repetila mentalmente. Después elegí otra, al azar, de otro cartel. Repetí las dos, en orden. Buscá una tercera y repetí las tres palabras tal como las encontraste. ¿Cuántas palabras sos capaz de memorizar?

Actuá como Sherlock Holmes. En el colectivo, en el tren o en el subterráno, tratá de adivinar qué asiento será el primero en desocuparse. Elegí a una persona y tratá de deducir, por los elementos que tiene en las manos, por su vestimenta o por la forma de hablar, a qué se dedica o en qué estación se bajará.

En este sitio proponen algunas otras actividades; está en inglés. Aunque quizás no puedan ser consideradas juegos, parecen divertidas. Por ejemplo:

• Mantené la respiración todo el tiempo posible.
• Repetí una misma palabra una y otra vez hasta que pierda su sentido.
• Usá tu poder mental secreto. Por ejemplo, para que el señor de pulóver verde se fije la hora.
• Tratá de no pensar en pingüinos.

¿Se te ocurre alguna otra idea?

Ivan Skvarca

Miércoles 9 de Agosto de 2006

Multiplicar con los dedos

Multiplicar por 9Contar con los dedos no tiene por qué ser vergonzoso.

Para multiplicar por 9, extendé ambas manos con las palmas hacia arriba. Al primer dedo de la izquierda la corresponde el 1, al siguiente el 2, y así hasta el último dedo de la derecha, al que le corresponde el 10.

¿Querés saber cuánto da 9 multiplicado por 3? Simplemente doblá el tercer dedo. Después, contá cuántos dedos quedan hacia un lado: dos, y cuántos quedan hacia el otro: siete. Reuní ambos números y tenés el resultado de la multiplicación: 27.

Del 6 al 10Con los dedos también se pueden hacer cuentas más complejas. Por ejemplo, podés multiplicar entre sí dos números del 6 al 9 siguiendo estos pasos.

  1. Extendé las manos con las palmas hacia abajo. El pulgar representa al 6, el índice al 7, y así hasta el meñique, que representa al 10.
  2. Uní los dos dedos que representan a los números que querés multiplicar. Por ejemplo, para multiplicar 7×8 tenés que unir el índice de una mano con el dedo medio de la otra.
  3. Multiplicá entre sí los dedos de una mano y de la otra que quedan arriba. En el ejemplo, 3×2=6.
  4. Sumá todos los demás dedos, incluyendo los que se tocan, y agregá un cero a la derecha. En el ejemplo, quedan cinco dedos, que con un cero se convierte en 50.
  5. Se suman ambos números: 6+50=56. Ese es resultado de la multiplicación inicial.
  6. Ivan Skvarca

Miércoles 2 de Agosto de 2006

La torre de Hanoi

La torre de HanoiEn una pagoda de Hanoi hay tres varillas. En la primera varilla se ven varios discos de oro de tamaños distintos, cada uno enhebrado sobre otro de mayor diámetro. Un monje, con parsimonia, mueve un disco por vez, quitándolo de donde esté y enhebrándolo en una varilla distinta. Sigue una regla estricta: en ningún caso puede ubicar un disco sobre otro más pequeño. Se dice que la pagoda, las varillas y los discos fueron creados al principio de los tiempos; cuando el monje traslade todos los discos a la última varilla se terminará el mundo.

Podemos estar tranquilos: el fin del mundo no está cerca, porque esa historia es pura fantasía. La torre de Hanoi fue inventada por un matemático francés llamado Edouard Lucas en 1883. Quizás para darle relumbre exótico, se presentó como una creación del profesor N. Claus, de Siam, nombre que bien mirado es un anagrama de Lucas, d'Amiens.

¿Cómo se resuelve? Podés mover discos al tuntún de allá para acá, pero con esa actitud no te admitirían en ninguna pagoda. Hay un sistema eficaz, interesante y muy instructivo que vale la pena conocer.

La idea general es esta. Primero hay que mover todos los discos, excepto el más grande, hasta la varilla auxiliar. Luego hay que mover el disco mayor hasta la última varilla. Finalmente, hay que mover todos los discos de la varilla auxiliar hasta la última varilla.

Supongamos que hay ocho discos. Hay que mover siete hasta la varilla auxiliar. Luego hay que mover el octavo a la última varilla, y después hay que mover los otros siete hasta su ubicación definitiva.

Bien: si supiéramos cómo mover siete discos, ya sabemos cómo mover ocho. Pero, ¿cómo se mueven siete discos?

Es fácil. Con la misma idea. Se mueven seis hasta la varilla auxiliar, luego se mueve el septimo a la posición deseada, y finalmente se mueven los seis anteriores.

Si sabemos cómo mover seis entonces sabemos cómo mover siete, y si sabemos cómo mover siete entonces sabemos cómo mover ocho. ¿Y cómo se mueven seis discos?

Ya te imaginarás cómo sigue. De esta manera vamos reduciendo la complejidad del problema hasta quedarnos con un desafío indudablemente a nuestro alcance: mover un solo disco.

Este truco es conocido como algoritmo recursivo. Te animamos a que lo pruebes por vos mismo en este pequeño ejemplar en Flash. Podés elegir la cantidad inicial de discos. Cuidado: la cantidad de movimientos necesarios para resolverlo crece rápidamente. Con cuatro discos son necesarios quince movimientos. Con ocho discos son necesarios 255 movimientos. Pero con veinte discos ya hacen falta más de un millón de movimientos.

Ivan Skvarca

Miércoles 26 de Julio de 2006

Abecegramas

LetrasPodemos llamar abecegrama a una frase en donde las iniciales de las palabras siguen el orden alfabético. En un abecegrama perfecto, la primera palabra empieza con A, la segunda con B, la tercera con C...

Leo Maslíah, el músico, humorista y escritor uruguayo, escribió 23 minicuentos abecegramáticos, de los cuales mostramos algunos. Cada uno toma un punto de partida distinto. Como licencia poética, obvia las letras K, Ñ, W y X, las más extravagantes de nuestro idioma. Compartimos algunos.

Cuando descubrió el fraude, gritó: «¡Hijo indigno, joven ladronzuelo mal nacido!» ¡Oh, ¿por qué robaste, si tenías un virreinato?! ¡Ya, zángano, adminístrate bien!
Durante el festejo, galantes hombrecitos improvisaron jazz. La música negra obró providencialmente. ¡Qué regocijo! Seguidamente tocaron un vals yugoslavo (zíngaro). ¡A bailar, camaradas!
Yo zafo. Ahora bien, ¿cuántos dirán eso francamente? Grandes hacendados, industriales jubilados. Los maestros no, olvídenlo, porque quedan relegados siempre. Trabajan, utopistas, vanamente.

Hace un tiempo, en el sitio web de la BBC propusieron a los lectores escribir abecegramas perfectos empezando desde la A y terminando en la Z. Tenés muchísimos para leer; algunos pierden inspiración hacia el final, otros hacen disimuladas trampas. El quemás nos gustó está firmado por Ju.

¡Acechadora bestia! Corro desesperada. Entre frescas gardenias hallo insólitos jardineros karatekas: «Lamento molestarlos». Ningún ñato osa pedirme que reaccione. Solamente tiemblo. ¡Urgente! ¡Vuestro whisky! ¡Ximena yace zombi!

¿Te animás a escribir el tuyo? Si conseguís alguno, dejalo en los comentarios.

(La imagen es de Nir Tober y forma parte de una serie de fotografias donde dibuja todas las letras del abecedario con un fuego encendido. «Conseguir cada foto me llevó entre 30 y 50 tomas —¡y un montón de nafta!», confiesa el autor. Explorando el enlace las podés ver con más detalle.)

Ivan Skvarca

Miércoles 19 de Julio de 2006

Quien tiene boca

MáscarasEn la fiesta hubo buena música y amigable charla, pero no podés dejar de pensar en las tortas, en los canapés, en los arrolladitos y en todas las demás exquisiteces que comiste sin parar. Cuando te despedís del anfitrión, querés decirle civilizadamente que la fiesta estuvo muy linda pero se te escapa un «La fiesta estuvo muy rica». Eso es un lapsus. El psicoanálisis podrá decir que en estos errores se manifiesta el subconsciente y por lo tanto sirven para analizarlo, pero eso no es asunto nuestro. Sí nos interesa que mediante estos lapsus se forman frases divertidas, llamativas, que proponen conexiones inesperadas entre palabras e ideas. Por ejemplo, hablar de la batalla de Waterpolo, de las cosas servidas en pequeñas diócesis, o del conflicto nipojaponés.

En catalán este tipo de lapsus tienen nombre propio: piquiponadas, debido a un político de la primera mitad del siglo llamado Joan Pich i Pon quien, según parece, fue profuso (e involuntario) creador de muchas frases así. Se dice que se lo vio en la inauguración de un museo blandiendo una de las espadas expuestas y diciendo «¡A que parezco un radiador romano!».

En inglés, un género particular de lapsus recibe el nombre de spoonerismos, a partir del reverendo William Spooner, quien vivió durante la época victoriana. La particularidad de estos errores de lengua consiste en que se intercambian las sílabas de las palabras de la frase, formando palabras totalmente diferentes y por lo general absurdas o vergonzosas. En castellano son muy populares; generalmente se introducen con un «no es lo mismo...». Por ejemplo, no es lo mismo «se atormenta una vecina» que «se avecina una tormenta».

Ivan Skvarca

Miércoles 12 de Julio de 2006

Relojes, jarras, estampillas y mechas

RelojesLos acertijos con relojes de arena son clásicos. Normalmente te ofrecen dos relojes de arena que tardan distinto tiempo en vaciarse y te piden medir un cierto intervalo. Por ejemplo: con relojes de arena de 4 y 7 minutos medir 9 minutos. Aquí tenés algunos para resolver y divertirte.

Semejantes, pero no idénticos, son los acertijos con jarras. Dos jarras (a veces más) tienen tales y cuales capacidades; tu objetivo es obtener una determinada cantidad exacta de litros. Las jarras pueden estar acompañadas de un barril limitado o de un manantial inagotable. En la película Duro de matar III, con Bruce Willis, tienen que obtener exactamente cuatro litros de agua usando una jarra vacía de tres litros, otra de cinco litros y el agua de un bebedero.

De la misma familia son los acertijos con estampillas; el relato suele comenzar en un país de nombre sonoro, exótico y ficticio, donde las estampillas tienen valores tales y tales, para luego preguntar ¿cuántas y cuáles necesito para un cierto franqueo? A veces el acertijo se plantea con billetes, lo que incorpora la posibilidad de dar vuelto.

Hace relativamente poco empezaron a circular acertijos con mechas. Es decir, con sogas que demoran un cierto tiempo en quemarse. Mediante una, dos o más, de tiempos diferentes, hay que medir un intervalo pedido. Te dejamos uno, para que lo pienses.

Tenés dos mechas. Cada una se quema en una hora, ni más ni menos, pero de manera desigual: es decir, la mitad de la longitud de la mecha no necesariamente se quema en la mitad del tiempo. ¿Cómo harías para medir cuarenta y cinco minutos exactos?
Ivan Skvarca

Miércoles 5 de Julio de 2006

El juego del mapa pintado

Mapa pintadoEn algunos planisferios, lo habrás visto, los países están pintados de colores, y nunca hay dos países vecinos con el mismo color. En esa idea se basa el juego del mapa pintado.

  1. Necesitás un mapa. Cualquiera. Inventalo. Podés dibujarlo en una hoja, tan intrincado y fantástico como quieras.
  2. Cada jugador tiene un lápiz de distinto color. El primero pinta un país, el que prefiera, con su lápiz.
  3. Su rival pinta un país vacío con el lápiz de su color.
  4. Otra vez es el turno del primer jugador que, sin cambiar nunca de lápiz, pinta un país. Pero atención: tal como en el planisferio, no puede haber dos países vecinos con el mismo color.
  5. Y le toca de nuevo al segundo jugador; nunca pueden quedar dos países vecinos con el mismo color. Si dos países se tocan sólo por un vértice no se consideran vecinos.
  6. El juego termina cuando un jugador no puede encontrar ningún país para pintar. Ese jugador pierde horriblemente.
Para jugar de nuevo, simplemente dibujás otro mapa y listo.

Entre partida y partida podés pensar variantes. ¿Qué pasa si además del lápiz de cada uno hay un tercer lápiz, neutral, que se puede usar cuando se quiera? También podés investigar un poco. ¿Se puede pintar cualquier mapa con solamente dos colores? ¿Y con tres?

El juego del mapa pintado es creación de Colin Vout y fue popularizado por el matemático inglés John H. Conway.

Ivan Skvarca

Miércoles 28 de Junio de 2006

Números con admiración

FactorialesA poco de recorrer libros de matemáticas o de acertijos te encontrás con números con signos de exclamación. Por ejemplo, 7! ¿Acaso el redactor sentía admiración por ese 7? No. El signo indica la operación que los matemáticos llaman factorial y que consiste en multiplicar todos los números enteros desde 1 hasta ese número. En nuestro ejemplo, el 7 exclamado debe entenderse como 1×2×3×4×5×6×7, que equivale a 5040. Puede parecer una operación extravagante y caprichosa pero tiene mucha utilidad. También para los acertijos.

Imaginá que te piden ordenar siete libros en un estante. ¿De cuántas formas diferentes podés hacerlo? Es fácil: de 7! formas. En el primer espacio podés poner uno cualquiera de los siete libros. En segundo espacio podés poner el libro que quieras entre los seis que quedan; y así. El resultado de todas estas posibilidades de elección es 7×6×5×4×3×2×1, es decir, factorial de 7.

Los factoriales crecen rápidamente, aunque su regularidad permite atajos ingeniosos. El factorial de 100 tiene más de ciento cincuenta cifras: ¿en cuántos ceros termina? Podemos responder sin calcularlo. Un cero final se produce cada vez que un número de multiplica por 10 o por 5 primero y por 2 después. Hasta el 100 hay un factor 5 en cada múltiplo de 5, y uno extra en cada múltiplo de 25. En total, 24 cincos. Factores 2 tenemos montones, y no nos preocupan. Por lo tanto, el factorial de 100 terminará con 24 ceros.

Ivan Skvarca

Miércoles 21 de Junio de 2006

Desempates

DesempatesLa semana pasada hablamos sobre formas de organizar un torneo; hoy vamos a hablar sobre mecanismos de desempate. Por supuesto, hace falta un desempate cuando los participantes juegan varias veces y terminan con la misma cantidad de puntos. En un torneo de eliminación directa, como los de tenis, el empate no existe: cada enfrentamiento debe terminar en victoria de uno y eliminación del otro.

En el actual mundial de fútbol hay varios criterios en prolija jerarquía. Si hay empate en la cantidad de puntos, se toma en cuenta la diferencia de goles; luego, la cantidad de goles a favor. Si todo esto falla y todavía hay dos equipos empatados, se consideran sólo los partidos entre ellos y se repiten los mismos criterios: puntos, diferencia de goles, goles a favor. Como último recurso, se hace un sorteo. (Aquí podés ver los reglamentos oficiales del mundial.) En los torneos nacionales de fútbol se utilizan criterios similares.

En otros deportes o juegos aplicar estos criterios sería imposible o injusto. (¿En el ajedrez debe ganar quien comió más piezas del rival?) Así es como aparecen mecanismos más imaginativos e ingeniosos.

Por ejemplo la Suma del Puntaje de los Oponentes. Sirve en torneos no hubo enfrentamientos contra todos sino sólo contra algunos; por ejemplo, los que utilizan el sistema suizo. Es razonable: tiene más mérito haber enfrentado a jugadores más poderosos.

En torneos donde todos se enfrentan a todos, el sistema anterior no sirve, por lo que existe el llamado Suma del Puntaje de los Oponentes Vencidos. Al terminar el torneo, se hace la lista de aquellos rivales a quienes se les ganó, y se suma los puntajes obtenidos por todos ellos. La idea es la misma: vencer a rivales más encumbrados indica más talento o capacidad.

En variantes más sutiles se suprimen los rivales más débiles o más fuertes para evitar distorsiones.

Otro sistema curioso es la Suma Acumulativa de Puntajes. Se suman los puntajes luego de cada ronda. Así, si al terminar la primera ronda tenemos 3 puntos, al terminar la segunda tenemos 4 puntos y al terminar la tercera tenemos 7 puntos, el total será 3 + 4 + 7 = 14.

Hay muchos más. Si estás curioso y te animás, te recomendamos visitar la página de manqala.org, que enumera una buena cantidad. Está en catalán, pero es fácil de entender.

Ivan Skvarca

Miércoles 14 de Junio de 2006

Torneos

TorneosElegir al mejor tenista, al más genial ajedrecista o al más eficaz equipo de fútbol no es fácil. Para eso existen los torneos: los candidatos compiten y el mejor sobrevive. Pero diseñar un torneo no es fácil.

Aunque hay infinidad de formas de organizar un torneo y cada deporte o juego parece tener la suya propia, podemos distinguir dos mecanismos principales. Uno es el torneo de eliminación directa: los participantes se enfrentan de a pares y el ganador pasa a la ronda siguiente. Luego de la cantidad necesaria de rondas surge un único campeón. Así se compite, por ejemplo, en el tenis. Otro es el sistema de liga o todos contra todos. Cada participante se enfrenta a cada uno de los demás. Quien más éxitos haya sumado en esos enfrentamientos es proclamado vencedor. Así se compite, por ejemplo, en los torneos locales de fútbol.

Cada sistema tiene sus ventajas y sus desventajas. Con el sistema de eliminación directa se pueden enfrentar muchos participantes en poco tiempo: ocho jornadas bastarían para que surja un campeón entre 256 rivales. Casi durante el mismo lapso en que se juega el actual mundial de fútbol podrían participan todos los países del mundo sin necesidad de farragosas eliminatorias. Sin embargo, el azar de los emparejamientos y las llaves puede resultar un poco injusto. «¡Es que nos tocó Brasil!», podría lamentarse el voluntarioso equipo de Liechtenstein. Otro inconveniente es más práctico. Luego de la primera jornada quedan eliminados la mitad de los participantes. Si eran 256, entonces 128 tienen que volverse a su casa el primer día. No es cómodo organizar una competencia que apenas empieza se queda casi vacía.

Por su lado, el sistema de liga requiere mucho, muchísimo tiempo. Si hay 256 equipos serían necesarias 255 jornadas de competencia. Al ritmo del mundial de fútbol, sólo podrían participar ocho equipos. Además, se pierde un poco de dramatismo: a veces el ganador queda determinado mucho antes de que termine el torneo, a veces un equipo sale campeón cuando en otro partido su rival empata y ¿cuándo tiramos los fuegos artificiales? La ventaja, sin embargo, es que el ganador es indudable: se enfrentó a cada uno de los demás candidatos y quedó primero.

No es raro que los torneos combinen estos dos mecanismos de alguna manera particular. En el mundial de fútbol, por ejemplo, hay primero una fase de liga y luego una fase de eliminación directa.

Dijimos que eran dos, pero en realidad hay un tercer mecanismo. Es similar y diferente a cada uno de estos dos. Se lo llama sistema suizo. Es común en el ajedrez y recibió ese nombre porque fue usado por primera vez en un torneo en ya imaginarás qué país. Se juega a un número predeterminado de rondas, dependiendo de la cantidad de candidatos; si hay veinte o treinta, las rondas pueden ser seis o siete. En cada ronda, cada participante se enfrenta a otro que tenga la misma cantidad de puntos que él. Naturalmente, este mecanismo también tiene ventajas y desventajas.

Cuando organices un torneo, sea de fútbol, de backgammon o de piedra, papel y tijeras, tenés muchas posibilidades para elegir.

Ivan Skvarca

Miércoles 7 de Junio de 2006

Escaleras de palabras

¿Sube o baja?Se dice que el juego fue creado por Lewis Carroll, el autor de Alicia en el país de las maravillas y un prócer de las recreaciones verbales. Es simple. Se eligen dos palabras de la misma cantidad de letras. A través de palabras intermedias hay que ir de una a otra. Cada palabra intermedia debe ser perfectamente legal y existente, y debe diferenciarse de la anterior en solamente una letra.

Veamos un ejemplo. Para ir de CERO a NADA se puede seguir este camino:

cero cera cara cada nada

Notá que las palabras inicial y final difieren en cuatro letras y que se hacen cuatro cambios; por lo tanto, es una escalera mínima. Esa exactitud es muy deseable; otro rasgo de elegancia y buen gusto es que ambas palabras, la de origen y la de destino, estén relacionadas por su significado.

En una variante de este juego, en cada paso se puede elegir entre dos transformaciones: 1. se cambia una letra por otra, dejando a las demás en su sitio, tal como acabamos de ver, o 2. se mantienen todas las letras iguales, pero cambiando su orden.

Por ejemplo, para ir de ALTA a BAJA sólo se precisan dos palabras intermedias

alta lata bata baja

Una tercera forma del juego permite conectar palabras de longitudes diferentes. En este caso, las transformaciones permitidas son tres: 1. cambiar una letra por otra, sin cambiar a las demás, o 2. insertar una nueva letra, en el medio, al principio o al final, dejando intacto el resto, o 3. suprimir una letra. Nos gustaría disponer de un buen ejemplo de esto, que sea divertido e interesante. Si se te ocurre, dejalo en los comentarios.

Ivan Skvarca

Miércoles 31 de Mayo de 2006

Capicúas atractivos

196Escribí un número cualquiera. Debajo escribilo al revés, empezando desde su última cifra y terminando en la primera. Sumá ambos números.
Si el resultado es capicúa, listo. Si no lo es, repetí el procedimiento (escribir al revés el número y sumar ambos) hasta llegar a un capicúa.

¿Elegís el 403? Bueno. Al revés es 304, y 403 + 304 es 707: un capicúa. Listo.

Estás dudando. Pensás que hicimos trampa. ¿Querés que probemos con el 319? Como quieras. Escrito al revés es 913, y 319 + 913 es 1232. No es capicúa. Entonces sumamos 1232 + 2321. El resultado es 3553, que sí es capicúa. Ya está.

Probá con todos los números que quieras, y verás que tarde o temprano, con más o con menos pasos, llegarás a un capicúa. El magnetismo de los capicúas atrae a todos los demás números.

¿A todos? No, a todos no.

Hay algunos que se resisten fieramente a ese canto de sirena simétrico. Hacé la prueba con el 196. Verás que empieza un periplo que pasa a través del 887, 1675, 7436, 13783, 52514 y que parece no detenerse nunca. De hecho, en este caso no se sabe si se acaba en capicúa o no. Con computadora se calcularon millones de pasos y el capicúa sigue sin aparecer.

Sin embargo, no se pudo demostrar, todavía, que nunca se alcanzará ese reposo simétrico. Esta es una de las varias conjeturas alrededor de los números capicúas que todavía espera respuesta. Quizás vos sepas entrar a la historia de las matemáticas resolviéndola.

Ivan Skvarca

(La foto es de Leo Reynolds y fue publicada en Flickr bajo una licencia de Creative Commons.)


Miércoles 24 de Mayo de 2006

Vertical vs Horizontal

Vertical vs HorizontalPara este juego necesitás un lápiz y un tablero dibujado en el papel. Esta vez usamos un tablero de seis por seis casillas pero eso puede variar. Ah, también necesitás un adversario, por supuesto.

Empieza uno de los dos contendientes; vamos a llamarlo Vertical. Marca una línea vertical que ocupe exactamente dos casillas vecinas. Podemos ver su jugada en el tablero 1.

Luego es el turno de su adversario: Horizontal, que hace una línea horizontal que ocupe dos casillas vecinas. Ambas casillas tienen que estar libres. En el tablero 2 vemos el resultado de su jugada.

De vuelta es el turno de Vertical, que hace lo mismo: una línea vertical que ocupa dos casillas vecinas libres. Y luego le toca de nuevo a Horizontal, y así. Vertical sólo hace líneas verticales y Horizontal sólo hace líneas horizontales. En el tablero 3 vemos la situación de la partida un poco más adelante.

El que en su turno no puede jugar, pierde. Eso pasa en el tablero 4: es el turno de Vertical, pero no puede hacer su jugada en ninguna parte. En cambio, si fuera el turno de Horizontal, sí podría marcar su línea.

¿Cómo conviene jugar? ¿Hay alguna estrategia infalible? ¿Da lo mismo ser Vertical que Horizontal? ¿Qué pasaría si cada línea tiene que ocupar tres casillas, en lugar de dos? ¿Y si la línea puede ser de la longitud que se quiera?

Ivan Skvarca

Miércoles 17 de Mayo de 2006

Legibilidad

AnteojosHace unos meses un mensaje de correo empezó a circular a toda velocidad entre las casillas de correo electrónico y luego pasó a los blogs y a los foros de internet. Decía ésto:

Sgeún un etsduio de una uivenrsdiad ignlsea, no ipmrota el odren en el que las ltears etsán ersciats, la úicna csoa ipormtnate es que la pmrirea y la útlima ltera esten ecsritas en la psioción cocrrtea. El rsteo peude estar ttaolmntee mal y aún pordás lerelo sin pobrleams. Etso es pquore no lemeos cada ltera por sí msima snio la paalbra cmoo un tdoo.
Si lo pudiste leer, entonces vos mismo demostraste lo que allí se postula. Quizás el estudio mencionado nunca haya existido, pero eso es lo de menos; un detalle burocrático sin importancia. ¿Por qué es tan fácil leer un texto con tantas alteraciones? No hay una explicación clara y única. En primer lugar, el lenguaje tiene muchas redundancias: no hace falta tener la información completa para descifrar un texto. Además, que se presenten frases y párrafos facilita la comprensión; sería mucho más difícil si se mostraran palabras sueltas. Por otra parte, las palabras breves permanecen inalterables, y en nuestro idioma abundan y son muy importantes.

Una posible continuación para aquel mensaje podría ser este otro:

Un expesimento sinilar de una univarsibad divamapquesa denueftra qua las palebzas puenen teher una o das lejras epuivoxadas sin qne ezto inpkda la camprengión del mandaje. El extudeo grovocó uma enérqiha pratesto del Spndijato Dvnéz de Corractyres, qus ve pñligrcr su foente da trebejo.
Pablo Milrud pensó una tercera parte. ¿Podés leerla?
Hay o ro ex erime to se ejante de u a uni ersi ad a emana que mues ra que pu de se uir ley ndo e un t x o au cuan o des pare can al un s le ras de las pa ab as.
Y también una cuarta parte. Es más difícil pero todavía legible.
Yau notr omash echoe nhun grias obr elau bicac ionde loses pacio sent rela spa labras.
Ivan Skvarca

(La imagen es de Andre Halama en Flickr, publicada bajo una licencia de Creative Commons.)


Miércoles 10 de Mayo de 2006

El cero y la nada

La caza del Snark, de Lewis CarrollEl legionario Quinto Cayo Lúpulo nació en el año 30 antes de Cristo y murió, comido por una jirafa, en el año 30 después de Cristo. ¿Cuántos años vivió? Es un viejo acertijo y ya lo mencionamos alguna vez. No vivió 60 años, como podría parecer, sino 59: no existió el año cero. ¿Y por qué no existió? Porque en el momento en que se fijó el actual cómputo de años no existía el concepto de cero.

¿Y por qué no existía? ¿Eran brutos e ignorantes? Nada de eso. Simplemente, no necesitaban un signo que marcara la nada. En aquellos tiempos el sistema de numeración vigente era el romano, el que todavía aparece entre nosotros aquí y allí, en donde las cantidades se representan por un complicado sistema de adición, sustracción y yuxtaposición. El cero no hacía falta.

Fue hacia el Renacimiento que el sistema de notación posicional cruzó el Mediterráneo y pasó de los árabes (que lo habían tomado de los hindúes) a Europa. «Notación posicional» quiere decir, simplemente, que una cifra vale distinto según la posición que ocupa dentro del número. Es claro: el 9 de 49 no vale lo mismo que el 9 de 93. En ese sistema es imprescindible tener un signo que señale ausencia, vacío, nada: si no lo hubiera, no podría distinguirse el uno del mil. Y ahí sí se hizo necesario el cero.

La idea de la nada es una sofisticación conceptual. Es importante para la ciencia, la filosofía y la religión, pero también es territorio fértil para paradojas, sorpresas y perplejidades. El compositor de vanguardia John Cage creó la obra 4' 33'', que consiste en cuatro minutos y treinta y tres segundos de silencio. ¿Es una obra musical? EmptyWebsite (que en inglés quiere decir sitio vacío) es compatible con todos los navegadores, no tiene publicidad y no requiere ningún plugin. La imagen pertence al libro La caza del snark, de Lewis Carroll, y muestra un mapa del centro del océano. Por supuesto, no hay nada: ni islas, ni bahías, ni albuferas, ni atolones ni arrecifes. Por eso está vacío. ¿Es útil ese mapa?

Ivan Skvarca

Miércoles 3 de Mayo de 2006

Secuencias

Números triangularesSi ves esta secuencia de números seguro que podés predecir cuál sigue.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

Esta otra es igual de fácil.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...

Pero quizás esta te cueste más:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36...

¿Cómo está formada? ¿Cuál sigue? La respuesta no es tan evidente: primero se suma 1, al siguiente término se le suma 2, al siguiente 3, luego 4... Se llaman números triangulares porque si tenés esas cantidades de naranjas o monedas se pueden acomodar con forma de triángulo sin que falte ni sobre ninguno.

Esta otra secuencia también tiene nombre propio:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Los dos primeros elementos son el 1, y a partir de allí cada número es igual a la suma de los dos anteriores. Es la sucesión de Fibonacci y ya hablaremos más en detalle de ella, porque esconde muchas sorpresas.

La última secuencia de hoy es un poco más misteriosa.

2, 12, 1112, 3112, 132112, 1113122112, 311311222112, 13211321322112, 1113122113121113222112, 31131122211311123113322112...

¿Cómo está formada? Pensálo bien. No es para nada evidente. Si lo descubrís, quizás quieras dedicarte a investigar su raro comportamiento. ¿Alguna vez aparecerá el número 4?

Marcia Levitus mantiene una pequeña y divertida colección de series y secuencias de carácter lúdico. Algunas usan letras, otras usan números. ¿Qué letra sigue a U, D, T, C, C, S...? El recurso más importante sobre series es la Enciclopedia de Secuencias de Números Enteros de N. J. A. Sloane, que viene trabajando en ella desde hace más de cuarenta años. La mayoría son serias y científicas, pero hay algunas raras, curiosas o encontradas en cosas de todos los días. Por ejemplo, la secuencia A104101: 4, 8, 15, 16, 23, 42.

Ivan Skvarca

Miércoles 26 de Abril de 2006

El número pi

PiA pesar de su engañosa apariencia de letra griega, pi es un número. Tres coma uno cuatro uno cinco nueve dos. Para hacerlo breve; porque pi tiene infinitas cifras decimales. Por eso se dice que es un número irracional: no por su carácter alocado, insensato o disparatado, sino porque su expresión decimal no puede reducirse a una fracción, es decir, a una razón o proporción entre dos números.

Si te tomás el trabajo de medir el diámetro de un círculo vas a comprobar que entra poco más de tres veces en su circunferencia. A efectos prácticos, para los redondeles de todos los días, para medir y trabajar con mesas, ruedas o planetas, no es necesario conocer muchos decimales de pi con exactitud. Una aproximación grosera es suficiente. Los caldeos le daban simplemente el valor 3; lo mismo los hebreos: ese valor aparece en la Biblia. Arquímedes consideró suficiente la fracción 22/7, que apenas coincide en dos decimales. Luego de unos centenares de años se desarrollaron las herramientas de cálculo y se buscaron más decimales. ¿Para qué? No había ningún motivo de practicidad urgente. Quizás se tratara, en partes iguales, de espíritu deportivo y de ímpetu racional. Quizás el caso más conmovedor sea el de un matemático inglés llamado William Shanks, que —era el año 1873 y todos los cálculos debían realizarse a mano— se lanzó a batir el récord mundial y llegó hasta la cifra 707. Para la época era una hazaña inaudita; lástima que se había equivocado en una cifra intermedia y todas las demás arrastraron el error. Con la aparición de las computadoras se aceleraron los tiempos. En la década de 1950 se calcularon los primeros mil decimales; en la década del 70 llegó el primer millón. Ahora podés conseguir cuantos decimales quieras así nomás.

Por algún motivo difícil de explicar, pi fascina y embelesa a los amantes de los números. Algunos tratan de memorizar tantos decimales como sea posible; el actual récord oficial lo tiene Hiroyuki Goto, que recitó 42195 cifras, aunque todavía falta homologar la marca de Akira Haraguchi, que recitó más de 82000. En Estados Unidos 14 de marzo se celebra el Día de Pi, porque allí, para indicar una fecha, primero se escribe el mes y luego el día; así, cada 3/14 hay reuniones y festejos en las universidades. Alrededor de pi hay películas y sinfonías; incluso podés buscar tu fecha de cumpleaños entre sus dígitos.

(La fotografía fue tomada por Niall Kennedy y muestra un monumento a pi instalado en un parque de Seattle, Estados Unidos.)

Ivan Skvarca

Miércoles 19 de Abril de 2006

Óscar de la Borbolla

EÓscar de la Borbolla es poeta, filósofo, profesor de metafísica y mejicano. Y también escribió un pequeño libro llamado Las vocales malditas que tiene cinco cuentos breves: cada uno utiliza exclusivamente una de las vocales del alfabeto. De cierta manera es un intento de continuar y completar el ejercicio excéntrico que había empezado el poeta nicaragüense Rubén Darío cien años atrás, aunque él asegure que lo hizo para que su hijo aprendiera las vocales. En el cuento «Los locos somos otro cosmos» leemos:

Rodolfo monologó con honroso modo: probó, comprobó, cómo los locos sólo son lo otro. Otto, sordo como todo ortodoxo, no lo oyó, lo tomó por tonto; trocó todos los pros, los borró; sólo lo soportó por follón: obró con dolo. Rodolfo no lo notó.

El cuento sólo con E se llama «El hereje rebelde» y este es un fragmento:

En el verde césped del Edén, célebre sede de creyentes, el decente Efrén se estremece. Tres deberes del mes lee en el templete del regente: «Defender el vergel del Hereje Rebelde, tener fe en el celeste jefe de tez perenne, ser excelente.»

Como era de esperar, el cuento que utiliza sólo la A es el más fácil y legible. «Abraham, fantasmal facha, agarra la pala, zafa la aldaba, baja a la calzada, pasa la barranca hasta hallar la cabaña.» Más impenetrables pero también más meritorios son los cuentos en U y en I; por ejemplo; «Sin ti, vi mi I Ching y viví mi crisis gris gris, sin vid ni bisbis ni chinchín ni Liszt.»

Ivan Skvarca

Miércoles 12 de Abril de 2006

Nombres capicúas

OnoEn Argentina tuvimos un presidente con apellido capicúa: Menem. Pocos habrán notado que otros dos presidentes argentinos son casi capicúas. Rivadavia no lo es por una sola letra; lo sería si se llamara Rivadavir, por ejemplo. Illia se volvía capicúa cuando firmaba con la inicial de su primer nombre, Arturo: A. Illia.

Hay muchas otras celebridades que tienen esa afortunada propiedad. George Sörös, un financista de origen húngaro; Darryl Hannah, una actriz norteamericana. Recurrir a Yoko Ono es demasiado fácil. Otros casos son un poco más eruditos: el filósofo catalán Ramón Llull o el compositor alemán Max Reger.

Los nombres de pila son pocos, pero muy comunes. Estamos pensando en el hispanísimo Ana, y en el germanísimo Otto. (Así se llaman los protagonistas de la película Los amantes del círculo polar, del español Julio Medem, quien también tiene apellido capicúa.)

Hay un puñado de casos extraordinarios en los que ni el apellido ni el nombre son capicúas, pero sí lo es la combinación de ambos. Una bailarina española se llama Sara Baras. Diana Anaid es una cantante australiana. Ariel Leira es un músico argentino. Eric Cire es un cantante estadounidense. Neil Lien es un ingeniero de Wisconsin. David Divad es un atleta francés. Mark Kram es profesor universitario en California. Es posible que algunos sean seudónimos o nombres artísticos, lo que disminuye un poco su espectacularidad.

¿Conocés algún otro ejemplo de nombres o apellidos capicúas? Contanos cuál.

(La imagen muestra un retrato de Yoko Ono muy simétrico: está formado por dos mitades derechas.)

Ivan Skvarca

Miércoles 5 de Abril de 2006

El juego de las situaciones

SituacionesEn el medio del desierto hay un hombre muerto con un palito en la mano. ¿Cómo se explica?

El juego de las situaciones es para varios jugadores. Uno presenta una situación como la de arriba, ya conociendo la historia que desembocó en ella. Esta historia debe ser verosímil, y todos los datos para reconstruirla deben estar aludidos en la situación que se cuenta. Los demás deben intentar reconstruir esa historia haciendo preguntas que sólo se pueden contestar con , no o es indiferente.

¿El hombre llegó en un camello?, podría ser la primera pregunta. Su respuesta es no. ¿El palito es largo como un palo de escoba? No. ¿Es largo como un escarbadientes? Sí. ¿Importa la longitud del palito? Sí.

De este modo se sigue. Lo divertido es que se trata de una verdadera empresa colaborativa: las preguntas y las intuiciones de los demás sirven para abrir nuevas vías de exploración, para imaginar nuevas explicaciones posibles. Es muy divertido para reuniones, para largos viajes en micro, para tardes calurosas a la sombra junto al río.

La historia que explica la situación del comienzo es la que sigue. Varias personas viajan en un globo aerostático que en el medio del desierto empieza a perder altura. Para salvar a los demás uno de ellos debe saltar. Sortean cuál eligiendo un palito: el que tiene el palito más corto debe tirarse. El hombre muerto de la situación fue el perdedor de ese sorteo, y en su mano todavía conserva el palito que lo obligó a saltar al vacío.

Para practicar este juego lo más difícil es conseguir situaciones suficientemente buenas: intrigantes y en principio inexplicables, pero que se vuelvan evidentes una vez que se conoce la historia completa. Aquí o allá en la web podés encontrar algunas escuetas colecciones de historias así. Los hombres de Sherlock es un interesante intento de adaptar este mecanismo al formato weblog. Como despedida por hoy, te dejamos otra situación.

Un hombre entra a un bar y pide un vaso del agua. El mozo saca un revolver de abajo del mostrador y le apunta. El hombre dice «Gracias» y se va. ¿Cómo se explica?

Ivan Skvarca

Miércoles 29 de Marzo de 2006

Subte anagramado

Subte de Ciudad de MéxicoUnas semanas atrás empezó a circular por sitios web y casillas de correo un plano de la red de subterráneos de Londres donde el nombre de cada estación había sido cambiado por un anagrama. Aquí podés verlo. Un anagrama, como recordarás, es una palabra o frase que tiene las mismas letras que otra pero en diferente orden; enigma es anagrama de imagen, cuartel es anagrama de recluta.

De inmediato la idea fue imitada y absorbida por gente de todo el mundo. Y así aparecieron anagramas de los subtes de Sydney, San Francisco o Hong Kong. El de Berlín está en alemán; el de Amsterdam, en holandés; el de Estocolmo, en sueco. Aquí hay muchos más.

Y por supuesto también hay anagramas en castellano. Podés ver los planos de la red de subtes de Santiago de Chile, de Ciudad de México o de Buenos Aires.

La idea es fértil y puede expandirse. Si en tu ciudad no hay subterráneo, podés probar con los nombres de las calles. ¿Qué tal un mapa de Argentina donde cada provincia es reemplazada por su anagrama? Para Salta tenemos atlas, para San Luis tenemos ínsulas. ¿Y un mapamundi?

Ivan Skvarca

Miércoles 22 de Marzo de 2006

Ambigramas

Victoria, de John LangdonAquí al lado vemos un nítido ejemplo de ambigrama. Leemos normalmente Victoria; y si nos ponemos cabeza abajo, o damos vuelta el monitor, seguimos leyendo Victoria.

Hay palabras con las que esto ocurre naturalmente; por ejemplo, OSO, escrito con mayúsculas, o un, en minúsculas. Pero tales palabras son dos, tres, un puñado; para que ocurra con las demás hará falta arte y sutileza. Si querés apreciar la maravilla y la dificultad tratá de escribir tu propio nombre, el de tu novio o el de tu hermano para que se lean igual desde este lado de la mesa y desde enfrente.

James Joyce, de John LangdonEl horizonte de los ambigramas es muy amplio. A veces la palabra que se lee al dar vuelta la hoja no es la misma, sino otra; preferiblemente ambas deben estar relacionadas. Por ejemplo, desde un lado se lee tu nombre y desde el otro el de tu novio; desde un lado se lee la palabra amor y desde el otro odio. O la palabra puede tener algún tipo de simetría, o puede jugar con el fondo y la figura, como en el espléndido ejemplo de James Joyce que vemos a la derecha.

Un ambigrama está en la confluencia del diseño visual, las ilusiones ópticas y la simetría. Quizás hayan existido desde hace mucho, o desde siempre, dispersos en avisos publicitarios y en ejercicios tipográficos, aunque tomaron cuerpo y luz hace unos treinta años con la triple conjunción entre Douglas Hofstadter, que inventó la palabra, y el estadounidense Scott Kim y el inglés John Langdon, que exploraron sus posibilidades con esplendor e insistencia.

Hay muchos creadores de ambigramas por la web. Podés recorrer sus páginas y asombrarte e inspirarte. Punya Mishra, Kevin Pease, Brett Gilbert y Gilles Esposito-Farése son autores muy recomendables y siguiendo sus enlaces llegarás a otros buenos trabajos. En el hemisferio de habla castellana hay un puñado de ambigramistas excelentes; por ejemplo Carlos Carpio Hernández, Alberto Portacio y Homero Larrain.

Ivan Skvarca

Miércoles 15 de Marzo de 2006

Bifrontes

upsidedownis.jpgDando vuelta el amor se llega a Roma; nada se consigue dando vuelta a Adán. Son ejemplos clásicos de bifrontes: palabras o frases que permiten dos sentidos de lectura. Una, el sentido habitual, tal como leés este mismo texto; la otra, para el lado opuesto. Los bifrontes pueden ser palabras, como en esos casos o como aires/seria, asir/risa, ateas /saeta, azar/raza, onagro/órgano, apartas/sátrapa. También pueden ser frases completas: «la mina de sal» se convierte en (y también provoca) «la sed animal».

Los bifrontes tienen una larga presencia en la historia de los juegos verbales. Hay ejemplos en Cicerón, en Baltasar Gracián y en Lewis Carroll. Usualmente están subordinados a sus hermanos mayores, los palíndromos. Tomando un palíndromo y dividiéndolo a la mitad, se puede obtener, luego de pequeños retoques cosméticos, un bifronte. Y al revés: desde un bifronte y su reverso se puede construir un macizo palíndromo.

La ventaja de los bifrontes es que son menos obvios. Dentro de una frase de apariencia inocente se puede esconder otro mensaje, quizás terrible. Será por eso que ya desde la Edad Media los bifrontes estuvieron asociados a lo demoníaco. La idea de que la escritura invertida tiene algo de infernal pervive todavía. Quién no escuchó historias donde se asegura que pasando al revés una canción de tal o cual estrella de la música aparecían mensajes siniestros. No hagas caso a esas supersticiones y mantené el espíritu lúdico. Y, con ese espíritu, dedicate vos también, como ejercicio, a escribir tus propios bifrontes.

Ivan Skvarca

Miércoles 8 de Marzo de 2006

Restricciones para escribir

SacapuntasAlguna que otra vez hablamos sobre restricciones formales para escribir. Suprimir una letra, usar una sola vocal, recurrir sólo a palabras de cierta longitud son ejercicios clásicos de la escritura recreativa: limitan pero al mismo tiempo invitan. Incluso los célebres palíndromos o frases capicúas pueden ser vistos como textos generados a partir de una restricción muy severa.

Hay muchas otras restricciones; menos célebres pero con tanto potencial como éstas. Por ejemplo, escribir alternando rigurosamente vocales y consonantes. Están permitidas las palabras banana, azúcar y calamitoso, pero no las palabras manzana, miel y catastrófico. Se puede hablar de él pero no de ella. Las cosas pueden ser mejores pero no peores.

Otra restricción puede llamarse escritura pivote: cada palabra debe empezar con la última letra de la palabra anterior. Ejemplo: «El león no obedece; es sutil, lánguido, obsesivo.»

Un tercer mecanismo de escritura restrictiva puede exigir que una determinada letra esté en todas y cada una de las palabras del texto. Si se elige una letra común, la A o la S, puede ser fácil; si se elige una letra rara, como la G o la Q, ahí te quiero ver. Ni hablar de la X o la K.

El último mecanismo de escritura que mencionaremos hoy toma como base un texto literario famoso; digamos: el Quijote. Contá la cantidad de letras de todas las palabras, en orden, y escribí un texto con esa misma estructura. El Quijote empieza «En un lugar de La Mancha, de cuyo nombre no quiero acordarme»; el texto generado podría ser: «Si mi perro ve un pájaro le toma cariño, le brinca alrededor». Bueno, no todos podemos ser Cervantes.

Ivan Skvarca

Miércoles 1 de Marzo de 2006

Números, hay muchos

NúmerosLos números primos son aquellos que tienen exactamente dos divisores. Uno es el mismo número; el otro, el 1. Por ejemplo, el 37, que sólo puede dividirse exactamente por 1 y por 37.

Los números cuadrados son los que salen de multiplicar a un número por sí mismo. Por ejemplo, el 144 es un número cuadrado porque equivale a 12×12. Si tuvieras 144 monedas iguales podrías acomodarlas en un perfecto cuadrado de 12 monedas de lado. Una curiosa propiedad de estos números es que son iguales a la suma de los sucesivos números impares: 1+3 es 4; 1+3+5 es 9; 1+3+5+7 es 16, y así. El 100 es un número cuadrado, y también es un número redondo.

Si en lugar de acomodar monedas como cuadrado las acomodaras como triángulo, en los casos en que no sobra ninguna moneda obtendrías los números triangulares. Estos números salen de sumar los sucesivos números naturales: el primero es 1; los siguientes son 1+2=3, 1+2+3=6, y luego el 10, el 15, el 21 y el 28.

Los números perfectos son más sutiles. Sumá todos los divisores de un número, incluyendo al 1 pero no al mismo número; el número es perfecto si esta suma es igual al número. El primero de los número perfectos es el 6: sus divisores son 1, 2 y 3, que suman 6. El segundo el 28; sus divisores son 1, 2, 4, 7 y 14, que suman justo 28. La perfección es rara: además de estos dos, sólo se conoce otra veintena. Si los divisores suman más que el propio número se dice que se trata de un número abundante. Si suman menos, es un número deficiente.

Finalmente, se llama números gemelos a las parejas de números primos que son impares consecutivos. Por ejemplo, el 17 y el 19, o el 41 y el 43. Todavía no se sabe si hay una cantidad infinita de números gemelos.

(La foto es de Claudecf.)

Ivan Skvarca

Miércoles 22 de Febrero de 2006

¿Cuándo existe una palabra?

EeeeeeSupongamos que estás jugando al Scrabel o leyendo una novela y te topás con las palabras mundonuevo, nopalito, oronte, precuela o chanta. ¿Existen esas palabras? Intentá responder y seguí leyendo.

La cuestión es difícil y la respuesta es un contundente depende.

Un primer criterio para decidir si ciertas palabras existen o no es recurrir a los especialistas y doctos de la lengua. Los países de habla castellana suelen tener una academia que estudia y regula el correcto uso del lenguaje; así existen la Academia Argentina de Letras y la Real Academia Española. Leyendo el célebre Diccionario de esta última nos enteramos de que un mundonuevo es un «cajón que contenía un cosmorama portátil o una colección de figuras de movimiento» y que nopalito es el nombre que en México tiene la «hoja tierna de tuna que suele comerse guisada». Las demás no pueden ser encontradas, al menos no todavía.

Un criterio diferente es definir a la lengua como medio de comunicación de ideas o sensaciones, y por lo tanto considerar que existen las palabras que significan algo para el emisor y el receptor. Dentro de cierta comunidad de hablantes precuela está llena de sentido, y también chanta en su ámbito específico. Las dos primeras palabras, que el diccionario daba como perfectamente correctas, son, según este criterio y en el mejor de los casos, dudosas.

En cuanto a oronte, no pudimos encontrarla en ningún diccionario ni sabemos de nadie que la use con sentido. Acabamos de inventarla.

Ivan Skvarca

Miércoles 15 de Febrero de 2006

Las baldosas del patio

Teselado de EscherBasta con mirar el piso de cualquier patio para comprobar que las baldosas cuadradas lo cubren completamente. Si tu patio fuera infinito (si es así, desde ya te envidiamos) las mismas baldosas cuadradas, en cantidad infinita, también servirían para cubrirlo.

¿Qué otra forma pueden tener las baldosas que cubren un patio infinito? Entre entendidos se pregunta qué otras figuras teselan el plano; pero no te dejes confundir, que seguimos hablando de las baldosas del patio.

Sólo hay tres polígonos regulares que teselan el plano: el cuadrado, el triángulo y el hexágono. Con los dos primeros pueden hacerse infinitos teselados diferentes: basta que una fila esté levemente desfasada de su vecina. En cambio, la teselación del hexágono es única.

Naturalmente, también los rectángulos, de cualquier proporción, sirven para teselar el plano. Sus dos medidas diferentes permiten diseños mucho más decorativos; fijate, por ejemplo, en el parquet de tu dormitorio.

Si admitimos figuras irregulares las posibilidades se amplían. Las mezquitas de los musulmanes suelen tener teselados muy elaborados; son famosos los mosaicos de La Alhambra. En los dibujos del artista holandés Maurits Escher, las baldosas adquieren la forma de animales, personas o cosas. Pero es muy posible que en tu propio patio o en el de tu vecino haya ejemplos igual de meritorios.

Ivan Skvarca

Miércoles 8 de Febrero de 2006

Firuletes en el alfabeto

ÜEn el castellano las letras pueden tener cuatro firuletes distintos: los puntos sobre la i y sobre la j, la diéreses o crema sobre la u, el acento sobre las vocales y la virgulilla sobre la ñ. Siempre son necesarios para escribir bien, pero a veces son indispensables: no es lo mismo una cana que una caña, no es lo mismo un pulpito que un púlpito.

Dos palabras muy comunes tienen tres de estos cuatro firuletes: riñón y piñón. (Además, los firuletes están sobre letras consecutivas.)

Otro conjunto de firuletes: el punto, la diéresis, la virgulilla de la ñ, es usado por cigüeña y pedigüeño.

Sólo lingüística y un puñado de palabras raras (como pirgüín, una sanguijuela, o güillín, una especie de nutria) usan diéresis, acento y punto.

No encontramos ninguna palabra que tuviera al mismo tiempo diéresis, eñe y acento. Y menos todavía, una palabra que tuviera los cuatro firuletes a la vez. ¿Habrá?

En nuestro idioma las palabras pueden tener un solo acento. Pero para eñes no hay limitación; a pesar de eso, no encontramos ninguna que tuviera tres. Con dos, apenas ñoño y sus varios derivados, ñiquiñaque y algunas pocas más. ¿Existe alguna regla por la cual no pueda haber dos diéresis en una sola palabra? De hecho no hay más de una. Y con puntos, bueno, llegamos a nuestra vieja amiga indivisibilidad.

Hasta donde vimos, la palabra récord en firuletes es ajilimójili, que según el diccionario de María Moliner es una salsa picante hecha con ajos. Suma siete firuletes de distinta especie: ¿sabrás encontrar alguna que reúna más?

Ivan Skvarca

Miércoles 1 de Febrero de 2006

Dibujos con letras

Georges Perec con sus letrasDibujar un rostro, una persona o un animal con los dígitos es un pasatiempo usual. El 0 puede marcar el contorno de la cara o una boca abierta; el 8 inclinado, representar anteojos; el 1 puesto al revés, una nariz aguileña.

No tan lejos de esta idea, el francés Gilles Esposito-Farèse inventó los pinacogramas. Un pinacograma es el retrato de una persona que usa únicamente las letras del nombre de esa persona. Por ejemplo, aquí al lado vemos el retrato del escritor Georges Perec. (La foto en la que se basa la usamos hace tiempo en esta misma columna.) Por la nitidez de los resultados, la imaginación en el uso de las letras y la exactitud de la representación, su obra tiene una calidad extraordinaria. No te pierdas el resto de la galería.

Hay muchas otras formas de dibujar con letras y números. Es irresistible dejarse llevar por las similitudes y parentescos. El diseñador publicitario Roberto Fernandez hizo hace algunos años una campaña gráfica donde un par de palabras formaban el rostro de una personalidad de la política. (Como es brasileño, esas palabras están en portugués.) El diseñador ecuatoriano Andrés Rivadeneira Toledo también hizo retratos usando las letras del nombre del retratado. En el delicioso Bembo's Zoo la figura de un animal aparece mediante la combinación de las letras de su nombre en inglés. (En este caso, las letras se repiten muchas veces.) Kelly Mark hace agradables ilustraciones con Letraset. Yendo un poco más lejos, por qué no recordar a los caligramas, donde los versos adquieren ligeramente la forma de aquello que mencionan, y los emoticones, versiones ultrasintéticas que apenas utilizan un par de caracteres o signos de puntuación.

Y si querés hacer tus propios experimentos visuales lo mejor es el papel y la tinta, pero la web también te da chances. Una es Typedrawing. Otra es esta mesa de dibujo. A la izquierda elegís la letra; con los controles de la derecha determinás su tamaño y su orientación.

Ivan Skvarca

Miércoles 25 de Enero de 2006

Bueno, bonito y barato

Las tres BAquellas enumeraciones, entre literarias, lúdicas y publicitarias, que reúnen palabras con una misma inicial reciben el nombre de isoacrónimos. Se entiende: acrónimo es el nombre que tienen las siglas cuando se visten de etiqueta; el prefijo iso indica, claro, la igualdad de esas letras iniciales.

La triple B que aparece en el título es clásica entre viejos comercios de barrio. En las empresas, los isoacrónimos son un recurso frecuente para fortalecer la imagen corporativa. Durante los ochenta, en IBM se decía que para que un producto fuera exitoso debía cumplir con cinco C: Concepción, Consistencia, Cooperación, Coraje y Confianza. Hace algunos años, el grupo Clarín también usó las C para definir su estrategia: Comunicación, Credibilidad, Compromiso, Creatividad... El presidente estadounidense Lyndon B. Johnson había resumido su programa política en tres D: Determinación, Deliberación y Discusión. (Podés ver otros isoacrónimos como estos entremezclados entre la lista que figura en una página de Josep M. Albaigès.)

La repetición de iniciales produce un mensaje impactante y fácil de recordar; por eso no es raro su uso en publicidad o política. Pero también son un ejercicio literario entretenido. Por ejemplo, tratá de caracterizar a tu peor enemigo, al club de fútbol del que sos hincha o a la ciudad donde te vas de vacaciones usando palabras con una misma inicial.

Los isoacrónimos aparecen en todos los idiomas. Según los franceses, todo se hace en este mundo por cuatro grandes D: Dieu, Diable, Dame, Denier (Dios, Diablo, Dama, Dinero). Según un experto en inversiones, los buenos especuladores poseen las cuatro G: Gedanken, Geduld, Geld, Glück (en alemán: ideas, paciencia, dinero y suerte). James Joyce, el autor de Ulyses, escribe que todas las buenas cosas en Gran Bretaña empiezan con la B: beer (cerveza), beef (buey), business (negocios), bibles (bliblias), bulldogs (perros), battleships (barcos de guerra)...

Y hace ya varios siglos, Lope de Vega, el Fénix de los Ingenios del Siglo de Oro español, enseña cómo no debe ser una mujer mediante una colección de nueve efes:

flemática, floja, fría, frágil, follona, fullera, fiera, fregona y Francisca.
Ivan Skvarca

Miércoles 18 de Enero de 2006

Educación física

CañónLas tremendas palabras esdrújulas como cinética o termodinámica suelen opacar el tinte curioso, divertido y asombroso de la física. Mirados con benevolencia y sin exámenes por delante, muchos problemas físicos son paradójicos y acertijeros, porque nunca resultan como uno espera.

Imaginá una caja grande y perfectamente cerrada. Adentro hay palomas, muchas palomas. ¿Cuándo pesará más la caja: cuando las palomas estén apoyadas sobre el piso de la caja, o cuando estén volando?

Supongamos ahora que vos y tu vecino tienen ambos el ánimo belicoso. Vos tenés un cañón y tu vecino también. Pero vos apuntás el tuyo justo hacia arriba, perfectamente vertical, mientras que tu vecino lo pone en cierto ángulo, no importa ahora cuál. Los dos disparan al mismo tiempo. Las balas, redondas y pesadas, salen disparadas: la tuya, hacia el cielo; la de tu vecino, formando una comba que los expertos llaman parábola. ¿Cuál de las dos balas de cañón tocará primero el piso?

Sos ahora un indígena pagano que lleva un tótem sobre una canoa, a través de un lago de aguas muy tranquilas. De pronto, te arrepentís de tu religión impía y tirás el tótem al agua. El nivel del agua del lago, ¿subirá, bajará o permanecerá igual?

Los anteriores son tres problemas físicos tradicionales. La respuesta al primero es que da lo mismo: la caja pesará tanto si las palomas están en el aire como si están apoyadas sobre el piso. Distinto sería si fuera una jaula abierta; pero al ser una caja cerrada, la presión del aleteo que permite mantenerlas volando es igual a su peso, por lo tanto el peso de conjunto de caja más palomas no varía. Los otros dos problemas te los dejamos para que los pienses.

Ivan Skvarca

Miércoles 11 de Enero de 2006

El sutil encanto del oxímoron

OxímoronEs Jorge Luis Borges quien mejor define el tema de hoy: En la figura que se llama oxímoron, se aplica a una palabra un epíteto que parece contradecirla; así los gnósticos hablaron de luz oscura; los alquimistas, de un sol negro...

La cita es tomada del cuento El zahir; los que siguen, son unos ejemplos que tienen la virtud de ser tan usados cotidianamente que la contradicción casi se volvió invisible.

  • Guerra civil.
  • ¡Actúe naturalmente!
  • Conclusión inicial.
  • Interpretación literal.
  • Guerra nuclear limitada.
  • Única alternativa.
  • Vacaciones familiares.
  • Realidad virtual.
  • Fuerzas de paz.
  • Cristal líquido.
  • Parque industrial.
  • Guerra santa.
  • Rival amistoso.
  • Manual de autoayuda.
  • Solución simple.
  • Rosas amarillas.
  • Naturalmente, cuán contradictorios sean los dos términos a veces es discutible. La mayoría de las veces, señalar a algo como oxímoron no es más que una forma humorística de sostener una opinión determinada: un recurso retórico, como suele serlo la paradoja. Pero vale la pena detenerse, de tanto en tanto, a examinar las palabras que usamos todo el tiempo, y sorprenderse. Si querés leer otros, podés visitar esta página; en la Wikipedia hay algunos ejemplos tomados de la literatura.

    Ivan Skvarca

    Miércoles 4 de Enero de 2006

    Juegos enmascarados

    Detrás de la máscaraTe contamos un juego para dos personas.

    Sobre la mesa están los naipes del 1 al 10 del mismo palo. Por turnos, cada jugador elige y se guarda un naipe. Gana el primero que reúne tres naipes que suman 15.

    Pensalo un poco, si querés jugalo contra un amigo y rival, y después seguí leyendo.

    ¿El juego te suena familiar? ¿No notás un sabor conocido, no tenés la sensación de que ya lo jugaste antes?

    La filiación está escondida muy sutilmente.

    Imaginá que los naipes, en lugar de aparecer alineados uno detrás del otro, fueron acomodados formando un cuadrado. En la fila de arriba, 2, 7 y 6. En el medio, 9, 5 y 1. Abajo, 4, 3 y 8. Elegir un naipe equivale a marcarlo, quizás con una señal propia. Ahora, fijate. Los tríos de naipes que suman 15 siempre están alineados. Por ejemplo, 2, 9 y 4, o bien 4, 5 y 6. Entonces, elegir tres naipes que suman 15 equivale a... ¡hacer tres marcas en línea!

    Sí, es el famoso tatetí.

    Los naipes y la suma son solamente disfraces. El juego en sí es totalmente equivalente a nuestro viejo juego de tres en raya.

    La semejanza en la estructura o la forma esencial, con independencia de atributos accesorios o decorativos, recibe el nombre de isomorfismo. Esta noción tiene gran importancia en disciplinas como las matemáticas y la lingüística, y a partir de ahora, también en los juegos de inteligencia.

    Otro juego. Dos rivales enfrentados y entre ellos un tablero de ajedrez. En la hilera más cercana a cada uno hay ocho peones, blancos para uno y negros para el otro. En su turno, cada jugador mueve cualquiera de sus peones una, dos o tres casillas hacia adelante; sólo para adelante, nunca en diagonal ni hacia atrás. Ningún peón puede sobrepasar a otro: al chocar con el rival ya no puede mover. Gana el que hace la última movida.

    ¿A qué juego te hace acordar?

    Ivan Skvarca